ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_meromorphic__08.jpg
>> これで大丈夫かと思います。
> Corr(A, C^n) と書いてあるのでしょうか.

はい。左様でございます。

> Corr も意味不明ですし,

Corr(A, C^n)は集合Aから集合C^nへの対応全体の集合を表します。
fの値域はfの極も含む場合も想定したので,写像(Map(A,C^n)∋f)ではなく対応(Corr(A,C^n)∋f)と仮定しました
(∵極は特異点の一種で,特異点の定義はその点でfが微分不可能な点の事で,その点でfが定義されてるかされてないかは問わない,従って,fは常に写像とは限らない)。

> C^n も意味不明です.

n次元複素数体を表しています。

> max をどう取っているのか良く分かりませんが,
> D から f が正則であるような最大領域を除いた時に
> それが孤立点からなるのでなければ,
> それの点が極であるともないとも言えないでしょう.
> まあ, その場合も排除されるということを述べている
> つもりかも知れませんが, 不明確な定義であるとしか
> 評価できません.

そうでしたか。Dからfがholomorhpicな全開領域(最大な開領域)を取り除いた部分はfの極からのみなる集合である.
という意味でした。

>>> S を D の孤立点からなる集合として,
> これは, S は D の部分集合であり, S の各点は S の孤立点である,
> ということを述べています.

了解です。

>> つまり,Sの元は本土から離れた小島のようなものですね。
> 「本土」なんて考えていません.

そうでしたか。

>> その際,Sの点をaとするとz=aが極か可除特異点なら
>> lim_{z→a}|f(z)|の極限が存在しますよね(極なら∞,可除特異点なら実数)。
>> 然し,今,z=aという点は離れ小島(孤立点)なので
>> fはBall(a,ε)にて定義されない0<εが必ず存在しますよね。
> どうしてそうなりますか.
> S は領域(連結開集合) D の部分集合ですから,

S:={z∈D;zはfの極か(孤立)真性特異点} (但し,可除特異点は通例,特異点とは看做さない,通例,holomorphicと看做す)
ですね。

> S の点 a のある近傍 Ball(a, \epsilon) は D の部分集合であり,

Dが開領域なので当然そうなりますね。

> S の点 a は S の孤立点ですから, \espilon が十分に小さければ
> Ball(a, \epsilon) 内の S の点は a だけになります.
> 従って, \epsilon が十分に小さければ,
> Ball(a, \epsilon) \setminus { a } は D \setminus S の部分集合であり,

これもDが開領域とSの定義からそうでした。

> f はその上で正則です. 勿論, 定義されています.

これもDが開領域とSの定義からそうでした。

>> (∵aはD\setminus S の集積点ではないので極限の定義が不可能)。
> そんなことはありません.

失礼致しました。aはD\setminus Sの集積点でしたね(∵Dは開領域でS:={z∈D;zはfの極か(孤立)真性特異点})。

>> 従って,z=aは極でも可除特異点でもなく
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/classification_of_singularity__00.jpg
>> より孤立真性特異点でしかありませんね。
> これも誤り.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/classification_of_singularity__02.jpg
でいいのですね。

>> 従って上記の「S を D の孤立点からなる集合として,」は
>> 「 S を f の孤立特異点からなる集合として,」の間違いではないのでしょうか?
> 文章を曲解するのがお好きなようですから,
> 書き直しておきましょう.

有難うございます。

> 領域 D の部分集合 S があって,
> S の各点は S の孤立点であり,
> f が D から S を除いたところで定義されていて,
> f が D から S を除いたところで正則であり,
> S の点はどれも f の真性特異点でないとき,

つまり,極という事ですね。

> f は D 上の有理型関数と呼ばれます.

大変有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_meromorphic__10.jpg
でいいのですね。

>>> 孤立特異点である真性特異点の持つ性質については
>>> Picard の大定理を勉強されれば良いでしょう.
>> そうですか。ちょっと調べてみたいと思います。
> 下の中の Picard の大定理の述べ方は感心しません.

z_0の説明が有りませんでしたね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem_Picard_s_great__00.jpg
と訂正致しましたがまだ何処か間違っておりますでしょうか?

>> 因みにPicard's little theoremは
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem_Picard_s_little__00.jpg
>> の最後ののでいいのですよね
>> (entire holomorphicとはCの至る所で正則という意味です)。
> 全然駄目です. f(z) = z についても成立しないでしょう.

ごもっともです。

>> 中間にあるPicard's little theoremは間違いですよね。
> Picard の小定理は, 複素平面全体で正則な関数についての話ですから,
> A という訳の分からない集合上での関数の話ではありません.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem_Picard_s_little__01.jpg
とすれば宜しいでしょうか?

>> ところで
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_essential_sigularity__00.jpg
>> 真性特異点の例を見つけたのですが,
>> 下から6行目で『z=z_0で有界でないが』というくだりがありますが,
>> これはlim_{z→z_0}|f(z)|の極限が存在しないという意味に捉えて大丈夫でしょうか
>> (lim_{z→z_0}|f(z)|=+∞なら極の十分条件になってしまいますので)?
> 有界でない, というのは z_0 の近傍(から z_0 を除いた領域) U の上で,
> |f(z)| \leq M となる実数 M が存在しない, という意味です.
> 有界でない, というだけでは,
> \lim_{z \to z_0} |f(z)| が存在する場合も存在しない場合もあります.
> だから, 有界でない, なら, 極の場合も真性特異点の場合もあります.

これも大変有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_bounded_on_neighbourhood__00.jpg
という定義でいいのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/lebesgue_theorem__00.pdf
> 領域 I の「実部」 Re I とか「虚部」 Im I とかが
> 書かれている文章を見ると気分が悪くなるので,
> もう見ません. 因みに,

大変申し訳ありません。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000632__01.pdf
とReI,ImIを排除致しました。
192.1000632は【3】から
|h_k(Re(z)|≦∃g'(Re(z)|∈L^1(Re(z)∈R;z∈I},Brl({Re(z)∈R;z∈I},μ)
|l_k(Re(z)|≦∃g''(Re(z)|∈L^1(Re(z)∈R;z∈I},Brl({Re(z)∈R;z∈I},μ)
が導けたら終わりなのですがどうすればいいでしょうか?

>> 実数直線上の複素数値関数
> を表したければ, 独立変数が実変数 x であることを明らかにするように,
> f(x) = h(x) + i k(x) のように書くと良いでしょう.

了解です。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__05.pdf
にて,3ページの下から6行目,5行目はどのように理由付けできますでしょうか?

>> 取り敢えず
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__10.jpg
>> と証明できましたがこれで大丈夫でしょうか?
> どんな \delta に対しても, ということから, \delta = 1/k としても,
> と言えるわけで, \delta \geq 1/k 等の書き方は間違っています.
> Ball((s_0, 1/(k+n)) \setminus { s_0 }) という記号列は意味を為さない.
> Ball(s_0, 1/(k+n)) \setminus { s_0 } のことだとして,

これは失礼致しました。

> (Ball(s_0, 1/(k+n)) \setminus { s_0 }) \cap A は実数の部分集合で,

えっ? これは複素平面上の点s_0(然もs_0はAの集積点)を中心とする半径1/(k+n)の開円と複素数体Cの部分空間Aとの共通部分なので複素数の部分集合だと思うのですが。。

> S は実数列の集合ですから,

えっ? S:={(a_n)∈A^ω;lim_{n→∞}a_n=s_0}ですから,Sは複素数列の集合だと思うのですが。。

> そのふたつの共通部分は意味を為さない.
> S の元としてどのようなものを考えると反例になるのか,
> ちゃんと書かないと証明になりません.

反例として,n=1,2,…,に対して,Ball(s_0,1/(k+n))\setminus{s_0}∩Aからa_1,a_2,…なる(a_n)∈Sが(選択公理より)採れ,これが反例となります。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__13.jpg
と訂正致しましたが如何でしょうか?

>> はい。 否定は
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/negation__00.pdf
>> という具合になりましたがこれで大丈夫でしょうか?
> \lim_{s \to s_0} f(s, x) が存在する場合ばかりを扱っている
> わけではないから, それを \ell に置き換えて議論しないと,
> 何を言っているのか分からない文章になる, ことは既に注意しました.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__13.jpg
の題意で取り敢えずは大丈夫なのですよね。

>>> 「空集合」と「原点」とは違いますよ.
>> えっ? 複素平面の原点は0+0iの事だから,
>> 0+0i=0=φという風に空集合にはならないのでしょうか?
>
> なりません. 空集合と 0 とを同一視するのは
> 集合論の中で自然数を構成するときだけです.
> 自然数に対応する複素数は存在しますが,
> 0 に対応する複素数それ自体は空集合ではありません.

複素数の0,1,2,…,つまり,0+i0,1+i0,2+i0,…は自然数の0(=φ),1(=φ∪{φ}),2(=(φ∪{φ})∪{φ∪{φ}}),…と同一視できるので,複素数の原点は空集合と看做すという理屈では駄目なのでしょうか?
>> lim_{s→s_0}f(s,x)が非収束である事を
>> lim_{s→s_0}f(s,x)=∞と表記すると定義すれば
> だから, そういう定義は誰もしません.

そうでした。拡張された複素数の世界では∞は無限遠点という或る点を指し,lim_{s→s_0}f(s,x)=∞は"無限遠点に収束する"と呼ぶのでした。

> lim_{s \to s_0} f(s, x) が収束しないことと,
> lim_{s \to s_0} f(s, x) がリーマン球面の無限遠点に収束すること
> とは全く違った概念です.

仰る通りです。lim_{s \to s_0} f(s, x)∈C∪{∞}はlim_{s \to s_0} f(s, x)が収束する事を意味するので,
lim_{s \to s_0} f(s, x)\not∈C∪{∞}が非収束を意味するのでしたね。

>> どうして,振動やカオスの状態は有り得ないと保証できるのでしょうか?
> 単に「収束しない」場合であると考えているだけです.

そうしますと,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__13.jpg
の(i),(ii)から
lim_{s→s_0}f(s,x)\not∈C∪{∞} ⇔ lim_{n→+∞}f(a_n,x)\not∈C∪{∞} 
for∀(a_n)∈S
も成立するのですね。

>> すみません。相変わらず
>> 秕