ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_297__01.pdf
>> でいいのですね。
> monotone convergence に御執心のようですが, Im(s) \neq 0 なら
> Re(u^{s-1}) = u^{Re(s)-1} \cos(Im(s) \log(u))
> は u によって符号を変えますから,
> \sum_{n=0}^k \exp(-xu-nu) が単調増加であっても,
> (\sum_{n=0}^k \exp(-xu-nu) Re(u^{s-1})
> は単調増加ではありません.

そうでした。cos,sinで表せば一目瞭然でしたね。

> 実際には, I 上殆ど至るところの x について

ここでは任意の測度空間と仮定してあるのでしょうか?
後,IはR上の開集合としてもいいのでしょうか?

> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) であり,
> ある I 上可積分な関数 g(x) について |f_n(x)| \leq g(x) であれば,
> \lim_{n \to \infty} \int_I f_n(x) dx = \int_I f(x) dx
> が成立するという Lebesgue の定理を使えば,
> 面倒なことは必要ないのです.

Lebesgue dominated convergence theorem
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_9523__00.jpg
の事ですよね。

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_297__02.pdf
でいいのですね。

>>> \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-xu)/(1-\exp(-u)) du
>>> 自体が全複素数平面で正則な関数を表すということは
>>> 理解出来ましたか.
>> はい。
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__00.pdf
>> のProp199.9949で証明済みでした。
> 実変数 u と複素変数 z の関数 f(u, z) に対し
> F(z) = \int_1^\infty f(u, z) du によって定義される関数が
> z の正則関数であることを示すには,
> \int_1^\infty { \partial f \over \partial z}(u, z) du
> の存在を言うだけでは不十分です. 一方,
> \int_1^\infty { \partial f \over \partial z}(u, z) du
> の連続性は正則性の証明には必要ないことです.
> きちんと
>  \lim_{h \to 0} (F(z+h) - F(z))/h
>   = \int_1^\infty { \partial f \over \partial z }(u, z) du
> を示す必要があります.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99495__00.pdf
でいいのですよね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__03.jpg
>> でしたね。失礼致しました。
> \int_1^\infty (\exp(-u)/(1-\exp(-u))) u^{s-1} du
> 自体が複素数平面全体で正則な関数なので,
> それの解析接続というのは普通使わない言葉ですが,
> 間違っているわけではないので, まあ良いでしょう.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__04.jpg
とすれば良かったのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1025__00.jpg
>> と訂正いたしました。これならいかがでしょうか?
> 開集合 A の上で定義された関数 F(z) は A の各点で
> 微分可能であれば A 上正則です. 導関数 F'(z) が
> A 上連続になることは仮定する必要がありません.

そうでした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1025__02.jpg
と少し訂正致しました。　

> A 上正則な関数 F(z) は自動的に A 上解析的になり,
> 特に A 上何回でも微分できて導関数は全て連続になります.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1025__02.jpg
でいいのですよね。

>> そうでした。「何からCへの解析接続」という言い方はしないのでした。
> しますよ.

えっ? "Re(s)>1からCへの解析接続"と言ったりするのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__03.jpg
>> でいいのですね。
> 初めから複素数平面全体で正則な関数の複素数平面全体への
> 解析接続というのは, 普通言わないだろう, ということです.

了解です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_951__00.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_952__00.jpg
>> でございます。
> 貴方の <http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_4__00.pdf>
> における \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^{s/2} \exp(- \pi n^2 x) dx/x
> の変形において,
> 実部と虚部とを分けた後での括弧の付け方の間違いで,
> \cos と \sin の変数の中の \log(x) がフラフラ出歩いた所為で,
> 間違った式になっているので分かり難いかも知れませんが,
> 上で u^{s-1} \sum_{n=0}^k \exp(-xu-nu) について述べたのと
> 同じことで, Im(s) \neq 0 のとき,
> 積分関数の実部・虚部は単調増加ではありません.

そうでした。失礼致しました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_4__00.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_4__01.jpg
と訂正してみたのですが末行から2行目にて
∫_0^∞1/x exp(πx)/(exp(πx)-1) dx が収束しそうにありません。
どうすれば
|Re(x^{s/2})1/x 1/(1-exp(-πx))|∈L^1((0,∞),Brl((0,∞)),dx)
が言えますでしょうか?

>> Σ_{n=1}^kexp(Re(s/2)ln(x))cos(Im(s/2))(ln(x))^2exp(-πn^2x)1/x
>> ・щu刋タ償Σ_{n=1}^kexp(Re(s/2)ln(x))sin(Im(s/2))(ln(x))^2exp(-πn^2x)1/x 
>> 
>> とがL^1(R,Brl(R),dx)の元で且つ単調なので[Prop199.951]と[Prop199.952]から
>> ∫とlimの入れ替えを行いました。
> 正しく計算すれば,
>  x^{Re(s/2)-1} \cos(Im(s/2) \log(x)) \sum_{n=1}^k \exp(- \pi n^2 x)
>  x^{Re(s/2)-1} \sin(Im(s/2) \log(x)) \sum_{n=1}^k \exp(- \pi n^2 x)
> であり, Im(s) \neq 0 のとき, 単調増加ではありません.

仰る通りでした。

>>> 可積であることを示すのに, 実部と虚部とに分けるのは
>>> 無駄でしょう.
>> どっどうして無駄なのでしょうか?
> どうせ Lebesgue の定理を使うことになるからです.

そうでしたか。なるほどです。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__06.jpg
>> ではいかがでしょうか?
> [Prop211.4] は証明されていないわけですから駄目です.

Prop211.4が示されればTheorem1.2はOKなのですね。

>> あっもしかして
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__07.jpg
>> という具合に仮定をRe(s)>2にしなければこの命題は真にならないのでしょうか?
> 私はそうした方が簡単に証明できると思いますが,

でも
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__08.jpg
のようにRe(s)>1の範囲を広げる事が可能なのですね。

> いずれにせよ, 貴方は何も証明できていないわけです.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__05.pdf
とRe(s)>1でtheorem1.2を特に支障なく証明できた(つもり(?))なのですが一体どこでRe(s)>2が効いてくるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_42__00.jpg
>> とお陰様で漸く解決できました。
> x \geq 1 で \exp(\pi x) - 1 - \exp(x) > 0 というのは
> 間違っていませんが,
> \exp(\pi x) - 1 - \exp(x) = \exp(x)(\exp((\pi - 1) x) - 1) - 1
> であって, \exp(x)(\exp((\pi - 1) x - 1) - 1) ではありません.

そうでした。大変有難うございます。

>>> { \partial \over \partial s} x^{s/2}
>>>  = (1/2)(\log x) x^{s/2}
>>> { \partial \over \partial s} x^{(1-s)/2}
>>>  = -(1/2)(\log x) x^{(1-s)/2}
>>> といった計算が出来ませんか.
>> そっそれはそうですがこれをどう利用するのでしょうか?
> F(s) = \int_1^\infty f(x, s) dx の正則性を証明するには
> \lim_{h \to 0} (F(s+h) - F(s))/h
>  = \int_1^\infty { \partial f \over \partial s }(x, s) dx

どうして
lim_{h→0} (F(s+h) - F(s))/h=∂/∂s∫_1^∞f(x, s) dx
ではなく,
lim_{h→0} (F(s+h) - F(s))/h=∫_1^∞∂/∂sf(x, s) dx
なのでしょうか?

> を示す必要があるので, 先ず
> { \partila f \over \partial s }(x, s)
> が正しく計算できないと始まりません.

了解です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__00.jpg
>> という具合に直接,
>> ∫_1^∞(x^{s/2}+x^{(1-s)/2})Σ_{n=1}^∞exp(-πn^2x)dx/x
>> が微分可能であることで示そうとしたのですが
>> 上から4行目で∫とlimの入れ替え可能の理由がどうしても分かりませんでした。
>> ここさえ突破できればおしまいなのですが。
> それは当然です.

ここの入れ替えはそう簡単には言えないのでしょうか?

>> 今,sの範囲は複素数全体ですよね。
>> どうして∫とlimとが入れ替え可能になるのでしょうか?
>  \int_1^\infty x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
>  \int_1^\infty x^{(1-s)/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
> の両方について正則性を示すわけですが,
> それには, 例えば前者については,
>  \lim_{h \to 0}
>   (\int_1^\infty ((x^{h/2} - 1)/h - (1/2) \log(x))
>                  \times x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x))
> dx)
>   = 0
> を示せば良い.

つまり,f(s,x)がs=aで微分可能である事は
lim_{h→0}[(f(s+h)-f(s))/h - (∂/∂s)f(s,x)]=0を言えばよいと仰ってるのですよね。 


> これの扱い方については, 以前も述べましたし,
> 最近の別の投稿でも述べました. 後者についても同様です.

lim_{h→0}(∫_1^∞((x^{h/2} - 
1)/h-(1/2)ln(x))x^{s/2-1}(Σ_{n=1}^∞exp(-πn^2 x))dx)=0
は上のlim_{h→0}[(f(s+h)-f(s))/h - (∂/∂s)f(s,x)]=0を表しているのですよね。

取りあえず
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__01.jpg
となったのですが下から5行目から4行目への変形はどうして出来るのでしょうか?
それと下から4行目でlimを∫の中に入れれるのは何故なのでしょうか?