ご回答誠に有難うございます。

>> うーん、ではs=0,1がζ^の一位の極である事はどうすれば示せるのでしょうか?
>  \hat{\zeta}(s) = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)
> ですから, \Gamma(s/2) が一位の極を持つ, s = 0, -2, -4, -6, \dots
> と \zeta(s) が一位の極を持つ, s = 1 以外には極はありません.
> s = -2, -4, -6, \dots では \zeta(s) は零点を持ちますから,
> 積が本当に極となるのは s = 0, 1 のみです.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop209__00.jpg
となったのですが
exp(Re(-s/2)lnπ)(cosIm(-s/2)lnπ+isinIm(-s/2)lnπ)がs=-1,-2,-3,…で一位の零点を持つ事はどうすれば示せますでしょうか?

>> http://mathworld.wolfram.com/PoissonSumFormula.html
>> で見つけましたがこれをどのように利用するのでしょうか?
> x を正の parameter として, f(t) = \exp(- \pi x t^2) という
> t の関数を考えます. f(t) の Fourier 変換 \hat{f}(k) は
：
>  1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi x n^2)
>    = (1/x)^{1/2}(1 + \sum_{k=1}^\infty \exp(- \pi k^2/x))
> が成立することが分かります. 後は代入してお使い下さい.

大変恐縮です。とても助かっております。

>>> = \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty (u/(\pi n^2))^{s/2} \exp(-u)) du/u
>>> = \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty u^{s/2} \exp(- \pi n^2 u) du/u
>> どうしてこのような変形が出来るのでしょうか?
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem1_2__01.jpg
> u/n^2 = v と置いて, 変数変換するだけです.

どうも有難うございます。

>>> \int_1^\infty (x^{1/2} - 1) x^{-s/2-1} dx は s > 1 では収束して
>>> 計算が出来ます.
>> えっ?
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem1_2__02.jpg
>> からどうすればいいのでしょうか?
> それは上の式とは無関係ですね.

えっ?

>  int_1^\infty (x^{1/2} - 1) x^{-s/2-1} dx
>   = int_1^\infty (x^{-s/2-1/2} - x^{-s/2-1}) dx
> は容易に計算できるでしょう.

はい,出来ますが、、結局
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__04.jpg
の4箇所が(Re(s)>1とかの制限もあってのせいか)分からずじまいなのですがどのように変形してけばいいのでしょうか?
誠に申し訳ありません。

>>> Re(s) \leq 1 へは解析接続で考えます.
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem1_2__03.jpg
>> と解析接続関数で考えてみたりしたのですがこれからどうすればいいのでしょうか?
> 解析接続は具体的な表示式で考えなくても
> 存在することさえ分かっていれば,
>  \hat{\zeta}(1-s) = \hat{\zeta}(s)
> が任意の複素数 s で成立することが分かったりします.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__05.jpg
という具合に一致の定理を使えばそのように言えますね(でもζ^(s)=ζ^(1-s)がRe(s)>1ですらも言えねば何にもならんのですが)。