工繊大の塚本と申します.

In article <k0en9m$ubu$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem1_2__00.pdf
> のTheorem1.2の(iii)と(iv)を「数論２の第７章の初めの方にある定理7.1です.
> そこだけ読んで, 良く考えれば, 分かります.」
> を拝読しながら示しているのですが未だ頓挫しております。
> 
> Prop209のexp(Re(-s/2)ln(π))(cosIm(-s/2)+isin(Im(-s/2))部が
> どうしてs=-1,-2,-3,…にて零点を持つのでしょうか?

 \pi^{-s/2} は 0 にはなりませんよ.
但し, そこでの計算は Im(-s/2) に log(\pi) が掛かっていない点で
間違っています.

> そして,Prop211の等式はどのようにして示せばいいのでしょうか?

 Poisson の和公式というのは調べましたか.

> あと,最後のTheorem1.2の(iii)の等式はどのようにして示せばいいでしょうか?

 Re(s) > 1 では
 \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)
 = \pi^{-s/2} (\int_0^\infty u^{s/2-1} \exp(-u) du)(\sum_{n=0}^\infty 1/n^s)
 = \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty (u/(\pi n^2))^{s/2} \exp(-u)) du/u
 = \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty u^{s/2} \exp(- \pi n^2 u) du/u
 = \int_0^\infty u^{s/2-1} (\sum_{n=0}^\infty \exp(- \pi n^2 u)) du

> (iv)は3箇所の変形の仕方とRe(s)≦1の場合の証明をご教示ください。

 \int_1^\infty (x^{1/2} - 1) x^{-s/2-1} dx は s > 1 では収束して
計算が出来ます. Re(s) \leq 1 へは解析接続で考えます.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp