ご回答誠に有難うございます。

>>> # ところで, involution という言葉の意味は御存じですか.
>> はい、"累乗"という意味ですよね。
> その用法は obsolete です. 複素数ベキの所で使われる
> こともないでしょう.

えっ複素数では"累乗"という言葉は使われないのですね。
何と言えばobsoleteではないでしょうか?

>>> 更に, \Gamma(s/2) は s = 0, -2, -4, -6, \dots で
>>> 一位の極を持つのであって, s = -1, -3, -5, \dots では正則です.
>>> \zeta(0) = - 1/2 ですが, s = -2, -4, -6, \dots で \zeta(s) が
>>> 一位の零点を持つことは既に知っている筈ですね.
>> すっすみません。早速,ζ(s)が一位零点を持つ事を
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_102285__00.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2999__00.pdf
>> として確かめようと試みたのですが
>> [2]の因子がs=0,-1,-2,…で一位の零点を持ち,
> 1/\Gamma(s) は非正の整数の s で一位の零点を持ちます.

なのでProp205.2999の[2]は問題ないのですね。

>> [6]の因子ではs=1,0,-1,-2が一位の極となる事までは分かったのですが
> \int_0^\infty u^{s-1} \exp(-u)/(1 - \exp(-u)) du

ん? ∫_1^∞ u^{s-1}exp(-u)/(1-exp(u))du ではないのでしょうか?

> を解析接続した関数は

これはζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(1)/(n!(s+n-1))という関数ですね。

> , s = 1, 0, -1, -2, \dots, で一位の極を持ちます.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__00.jpg
となったのですが[3]の理由と[12]の理由はどのようになりましょうか?
あと,ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(1)/(n!(s+n-1))は∫_1^∞
u^{s-1}exp(-u)/(1-exp(u))duの何からCへの解析接続になるのでしょうか?

>> ここからどうすれば
>> 1/卵(s)
>> (Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(1)/(n!(s+n-1))+∫_1^∞exp(-u)u^{s-1}/(1-exp(-u))du)
>> がs=-2,-4,-6,…で一位の零点を持つ事が分かるのでしょうか?
> 別の所で, その積の非正の整数 s = 1 - n (n は自然数)での値が
> - n B_n(1) = - n B_n であることを見た筈です.
> n が 3 以上の奇数であれば B_n = 0 です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__00.pdf
とお蔭様で上手くいきましたがProp205.29995で∫_1^∞exp(-u)u^{s-1}/(1-exp(-u))
duの定義域は何になるのでしょうか?

>> これが分かったら
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop209__01.jpg
>> と上手くいきました。
> 「数論１」の定理 3.18 (1) を復習しましょう.

いっ一応,復習してみましたが,,,何処か間違っておりますでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_3__00.jpg
>> となり,等式が成立しないのですが、、
> それは x^{1/2} x^{-s/2-1} を x^{-s/4-1/2} などとしているからです.
> x^a x^b = x^{a+b} であって, x^{ab} ではありません.

これは大変失礼致しました(汗)。

>> また
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_3__01.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_3__02.jpg
>> と両辺とも開いてみたのですが一致しません。
>> 何処で勘違いしておりますでしょうか?
> 全部同じ間違いですね.

納得です。

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__01.pdf
>> と一応なりましたが(このような方針でいいのですよね?),
> 最後の所で積分が出来ていないのと,
> 途中が全く間違っていることを除けば,
> 方針としてはそうでしょう.

了解です。

>> 4ページの上から9行目の
>> ∫_0^∞Σ_{n=1}^∞exp(-πn^2x)x^{s/2-1}
>> =∫_0^∞Σ_{n=1}^∞x^{s/2-1}exp(-x)(πn^2)^{-s/2}
>> の変形と
> そんな変形が出来るわけがないでしょう.

そうますと前記事でのご説明
「 = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty (x/(\pi n^2))^{s/2} \exp(-x) dx/x
 = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^{s/2} \exp(- \pi n^2 x) dx/x」
という変形はどうしてできるのでしょうか?

>> 4ページの下から4行目の
>> Σ_{n=1}∫_0^∞x^{s/2}exp((s/2)ln(1/(πn^2))-x)dx/x
>> =Σ_{n=1}^∞∫_0^∞x^{s/2}exp(-πn^2x)dx/x
>> と下から3行目の広義積分でも項別積分が成立つ事はどうすればいえるのでしょうか?
> どうして途中で項別積分に変える必要があるのですか.

前記事で「= \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^{s/2} \exp(- \pi n^2 x) dx/x
= \int_0^\infty x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx」
という変形のご説明を戴きましたので,この変形は項別積分かと思ったのです。

> そういう変形はしません.
>  \pi^{-s/2} (\int_0^\infty x^{s/2 - 1} \exp(-x) dx)(\sum_{n=1}^\infty
> 1/n^s)
>  = \sum_{n=1}^\infty (\int_0^\infty (x/(\pi n)^2)^{s/2} \exp(-x) dx/x)
>  = \sum_{n=1}^\infty (\int_0^\infty x^{s/2} \exp(- \pi n^2 x) dx/x)
> という項別積分を
>  = \int_0^\infty (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) x^{s/2 - 1} dx
> という積分に書き換えるところでは, Lebesgue の定理でも使わないと
> いけないでしょうが, 一旦書き換えた後は項別積分に戻すことは
> しません.

了解です。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__02.pdf
となりましたがProp211.35の上から3行目の
Σ_{n=1}^∞∫_0^∞x^{s/2}exp(-πn^2x)dx/x=Σ_{n=1}^∞∫_0^∞(x/(πn^2))^{s/2}exp(-x)dx/x
という変形はどうして出来るのでしょうか?
それと5ページ目の上から2行目で
Σ_{n=1}^∞∫_0^∞(x/(πn^2))^{s/2}exp(-x)dx/x=Σ_{n=1}^∞∫_0^∞x^{s/2}exp(-πn^2x)dx/x
という変形はどうしてできるのでしょうか?

> 因みに「数論２」では Re(s) > 1 においてこう書き換えることができると
> していますが, \exp(- \pi n^2 x) \leq \exp(- \pi n x) 位の
> 評価では, \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)
> \leq \exp(- \pi x)/(1 - \exp(- \pi x)) としかなりませんから,
> Re(s) > 2 でないと, Lebesgue の定理が使えません.

そうしますと
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__02.pdf
のProp211.4にて∫とlimの入れ替えの箇所(冒頭から12行目)でLebesgueの単調収束定理を使ったのですがここでRe(s)>2と仮定とておかないと10行目から12行目の変形にLebesgueの単調収束定理は使用不可なのでしょうか?

> どうせ解析接続した形に付いての等式が言えれば良いのですから,
> Re(s) > 2 として示しておくのが良いでしょう.

ちょっと混乱してます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__02.pdf
のTheorem1.2の(iv)ではRe(s)>2と仮定してζ^(s)=ζ^(1-s)を示せばいいのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop209__01.jpg
>> にても解析接続できる事は分かりましたが,
> それは \hat{\zeta}(s) = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)
> という Re(s) > 1 での定義の式から, 一歩も進んでいませんね.

えっこれの何処が間違っておりますでしょうか? 今,ζ^は特にRe(s)>1とは仮定されてないのですが。

>> これからどうやって
>> ζ^(s)=ζ^(1-s)が成立つ事に結び付けれるのでしょうか?
>  \psi(x) = \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)
> とおくとき, 任意の複素数 s について
>  \hat{\zeta}(s)
>  = 1/(s(s-1)) + \int_1^\infty \psi(x) (x^{s/2} + x^{(1-s)/2}) dx/x
> であることを示したので,

すいません。示しておりませんでした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__00.pdf
となったのですが末行で
∫_1^∞(x^{s/2}+x^{(1-s)/2})Σ_{n=1}^∞exp(-πn^2x)dx/x
=∫_1^∞(x^{s/2}+x^{(1-s)/2})Σ_{n=1}^∞x^{s/2}exp(-πn^2x)dx/x+1/(s(s-1))
の変形はどうすれば言えますでしょうか?

> それを用いて考えるのです.
> Re(s) > 2 では
>  \pi^{-s/2} (\int_0^\infty x^{s/2 - 1} \exp(-x) dx)(\sum_{n=1}^\infty
：
>  = \hat{\zeta}(s)
> で御仕舞です.

取りあえずTheorem1.2の(iv)は
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__03.pdf
でいいのですよね。
ところでProp211.45の(ii)でどうすれば
∫_1^∞(x^{s/2}+x^{(1-s)/2})Σ_{n=1}^∞exp(-πn^2x)dx/xのCでの正則性が言えますでしょうか?