工繊大の塚本です.

In article <k4sumi$o4g$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_297__01.pdf
> でいいのですね。

 monotone convergence に御執心のようですが, Im(s) \neq 0 なら
 Re(u^{s-1}) = u^{Re(s)-1} \cos(Im(s) \log(u))
は u によって符号を変えますから,
 \sum_{n=0}^k \exp(-xu-nu) が単調増加であっても,
 (\sum_{n=0}^k \exp(-xu-nu) Re(u^{s-1})
は単調増加ではありません.

実際には, I 上殆ど至るところの x について
 \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) であり,
ある I 上可積分な関数 g(x) について |f_n(x)| \leq g(x) であれば,
 \lim_{n \to \infty} \int_I f_n(x) dx = \int_I f(x) dx
が成立するという Lebesgue の定理を使えば,
面倒なことは必要ないのです.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_297__53.jpg
> でした。

はい.

> In article <121001210433.M0221457@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-xu)/(1-\exp(-u)) du
> > 自体が全複素数平面で正則な関数を表すということは
> > 理解出来ましたか.
> 
> はい。
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__00.pdf
> のProp199.9949で証明済みでした。

実変数 u と複素変数 z の関数 f(u, z) に対し
 F(z) = \int_1^\infty f(u, z) du によって定義される関数が
 z の正則関数であることを示すには,
 \int_1^\infty { \partial f \over \partial z}(u, z) du
の存在を言うだけでは不十分です. 一方,
 \int_1^\infty { \partial f \over \partial z}(u, z) du
の連続性は正則性の証明には必要ないことです.
 
きちんと

  \lim_{h \to 0} (F(z+h) - F(z))/h
   = \int_1^\infty { \partial f \over \partial z }(u, z) du

を示す必要があります.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__03.jpg
> でしたね。失礼致しました。

 \int_1^\infty (\exp(-u)/(1-\exp(-u))) u^{s-1} du
自体が複素数平面全体で正則な関数なので,
それの解析接続というのは普通使わない言葉ですが,
間違っているわけではないので, まあ良いでしょう.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1025__00.jpg
> と訂正いたしました。これならいかがでしょうか?

開集合 A の上で定義された関数 F(z) は A の各点で
微分可能であれば A 上正則です. 導関数 F'(z) が
 A 上連続になることは仮定する必要がありません.
 A 上正則な関数 F(z) は自動的に A 上解析的になり,
特に A 上何回でも微分できて導関数は全て連続になります.

> そうでした。「何からCへの解析接続」という言い方はしないのでした。

しますよ.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__03.jpg
> でいいのですね。

初めから複素数平面全体で正則な関数の複素数平面全体への
解析接続というのは, 普通言わないだろう, ということです.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_951__00.jpg
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_952__00.jpg
> でございます。

貴方の <http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_4__00.pdf>
における \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^{s/2} \exp(- \pi n^2 x) dx/x
の変形において,
実部と虚部とを分けた後での括弧の付け方の間違いで,
 \cos と \sin の変数の中の \log(x) がフラフラ出歩いた所為で,
間違った式になっているので分かり難いかも知れませんが,
上で u^{s-1} \sum_{n=0}^k \exp(-xu-nu) について述べたのと
同じことで, Im(s) \neq 0 のとき,
積分関数の実部・虚部は単調増加ではありません.

> Σ_{n=1}^kexp(Re(s/2)ln(x))cos(Im(s/2))(ln(x))^2exp(-πn^2x)1/x
> \xE3^A\xA8
> Σ_{n=1}^kexp(Re(s/2)ln(x))sin(Im(s/2))(ln(x))^2exp(-πn^2x)1/x
> とがL^1(R,Brl(R),dx)の元で且つ単調なので[Prop199.951]と[Prop199.952]から
> ∫とlimの入れ替えを行いました。

正しく計算すれば,

  x^{Re(s/2)-1} \cos(Im(s/2) \log(x)) \sum_{n=1}^k \exp(- \pi n^2 x)
  x^{Re(s/2)-1} \sin(Im(s/2) \log(x)) \sum_{n=1}^k \exp(- \pi n^2 x)

であり, Im(s) \neq 0 のとき, 単調増加ではありません.
 
> > 可積であることを示すのに, 実部と虚部とに分けるのは
> > 無駄でしょう.
> 
> どっどうして無駄なのでしょうか?

どうせ Lebesgue の定理を使うことになるからです.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__06.jpg
> ではいかがでしょうか?

 [Prop211.4] は証明されていないわけですから駄目です.

> あっもしかして
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__07.jpg
> という具合に仮定をRe(s)>2にしなければこの命題は真にならないのでしょうか?

私はそうした方が簡単に証明できると思いますが,
いずれにせよ, 貴方は何も証明できていないわけです.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_42__00.jpg
> とお陰様で漸く解決できました。

 x \geq 1 で \exp(\pi x) - 1 - \exp(x) > 0 というのは
間違っていませんが,
 \exp(\pi x) - 1 - \exp(x) = \exp(x)(\exp((\pi - 1) x) - 1) - 1
であって, \exp(x)(\exp((\pi - 1) x - 1) - 1) ではありません.
 
> > { \partial \over \partial s} x^{s/2}
> >  = (1/2)(\log x) x^{s/2}
> > { \partial \over \partial s} x^{(1-s)/2}
> >  = -(1/2)(\log x) x^{(1-s)/2}
> > といった計算が出来ませんか.
> 
> そっそれはそうですがこれをどう利用するのでしょうか?

 F(s) = \int_1^\infty f(x, s) dx の正則性を証明するには
 \lim_{h \to 0} (F(s+h) - F(s))/h 
  = \int_1^\infty { \partial f \over \partial s }(x, s) dx
を示す必要があるので, 先ず
 { \partila f \over \partial s }(x, s)
が正しく計算できないと始まりません.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__00.jpg
> という具合に直接,
> ∫_1^∞(x^{s/2}+x^{(1-s)/2})Σ_{n=1}^∞exp(-πn^2x)dx/x
> が微分可能であることで示そうとしたのですが
> 上から4行目で∫とlimの入れ替え可能の理由がどうしても分かりませんでした。
> ここさえ突破できればおしまいなのですが。

それは当然です.

> 今,sの範囲は複素数全体ですよね。
> どうして∫とlimとが入れ替え可能になるのでしょうか? 

  \int_1^\infty x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
  \int_1^\infty x^{(1-s)/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx

の両方について正則性を示すわけですが,
それには, 例えば前者については,

  \lim_{h \to 0}
   (\int_1^\infty ((x^{h/2} - 1)/h - (1/2) \log(x))
                  \times x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx)
   = 0

を示せば良い. これの扱い方については, 以前も述べましたし,
最近の別の投稿でも述べました. 後者についても同様です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp