工繊大の塚本です.

In article <k4b3b7$3tt$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2999__01.jpg

積分を総和する形のままで積分の変数変換をしてから,
積分と総和の順序交換をしないと, 証明にならない,
という話はお分かりいただけないようです.
 u = 0 での \exp(-u) の値は \exp(-0) = 1 である
ことも注意しておきましょう.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2999__02.jpg

 s = 1 も \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1)) の極です.

> と漸く,
> 1/\xCE^S(s)
> (Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(1)/(n!(s+n-1))+∫_1^∞exp(-u)u^{s-1}/(1-exp(-u))du)
> がs=-2,-4,-6,…で一位の零点を持つ事が分かりました。

それは良かった.

> とりあえず
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__00.pdf
> でいいのですね。

 \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-xu)/(1-\exp(-u)) du
自体が全複素数平面で正則な関数を表すということは
理解出来ましたか.

それから, \zeta(s) \Gamma(s)
 = \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
   + \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-xu)/(1-\exp(-u)) du
の式変形として, \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
が分母に来るようなものは間違っています.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__01.jpg
> としたかったのでした。これなら大丈夫でしょうか?

  \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-xu)/(1-\exp(-u)) du
   = \zeta(s) \Gamma(s) - \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))

  \zeta(s)
   = (1/\Gamma(s))(\sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
                   + \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-xu)/(1-\exp(-u)) du)

以外の変形はおかしいと思いませんか.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__01.jpg
> でなら何からCへの解析接続になるのでしょうか?

ですから, \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-xu)/(1-\exp(-u)) du
はそれ自体初めから全複素数平面全体で正則です.

> In article <120930031344.M0123608@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 全然分かっておられないようです.
> > holomorphic の定義も分かっていないでしょう.
> 
> えっそうですかっ。

そうです. 複数数平面 \mathbf{C} の部分集合 B 上で定義された
複素数値関数 F が B の部分集合 A で正則であることの定義は
何で, それから [Prop192.1025] が正しいか, 良くお考え下さい.

> > その関数が全複素数平面で正則であることを理解していないのなら,
> > 全部やり直しです.
> 
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__01.jpg
> でならいいのですね。

「何からCへの解析接続」という問を発している時点で駄目です.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2999__03.jpg
> とお陰様で漸く解決できました。

 s = 1 での問題は既に指摘しました.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_35__00.jpg
> とお陰様で漸く解決できました。

単なる計算の途中経過を Proposition として独立させても
仕方がないでしょう.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_4__00.pdf
> というように3ページ目の下から4行目にて
> Σ_{n=1}^nexp(Re(s/2)ln(x))(cos(Im(s/2))(ln(x))^2exp(-πn^2x)dx/xが
> 可積である事を示してみましたが
> いかがでしょうか?

積分と極限の順序交換を行うところでの理由付けの
 [4][5][6][7] も [Prop199.951] も [Prop199.952] も
書いてありませんから, 評価できません.
可積であることを示すのに, 実部と虚部とに分けるのは
無駄でしょう.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__04.pdf
> と訂正致しましたがこれならいかがでしょうか?

上述の「積分と極限の順序交換」の問題がなお残ります.
 5 page の [4] は出鱈目です.
 \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 u) が u に関わらない定数
 (\sum_{n=1}^\infty 1/n^2 となっていますが) で抑えられないことは,
 u = 0 では無限大に発散するのだから, 自明です.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__01.pdf
> となったのですが

 [Prop211.42] 中の積分には s が現れないのに,
 Re(s) > 1 という条件があるのはなぜでしょうか.

> Prop211.42の∫_1^∞x/(exp(πx)-1)は何で抑えれますでしょうか?

 [Prop210] というのは \exp(- \pi n^2 x) \leq \exp(- \pi n x)
を使っての評価なのでしょうね. それはさておき,
他での証明からで言えば, x^3/(\exp(\pi x) - 1) の x \to \infty
での極限が 0 であることを言えば良い, と気付きましょう.
収束の証明はそれに限りませんが.

> それと3ページ目の末行はどのように書けますでしょうか? 

 dx/x に書き直すのは感心しませんが, それはさておき,
 s を s + h にした項が出て来るのであって,
 x を x + h にすることはありません.

 { \partial \over \partial s} x^{s/2}
  = (1/2)(\log x) x^{s/2}
 { \partial \over \partial s} x^{(1-s)/2}
  = -(1/2)(\log x) x^{(1-s)/2}

といった計算が出来ませんか.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp