>> (i) が成立しないことの例をきちんと見つけておくのは
>> 微積分学における大事な復習事項です.
> すみません。ちょっとお時間下さいませ。

A=B=Rで
f(x,s):=0 [s=0の時]、
x-1/s+1 (1/s-1≦x≦1/sの時),  1/s+1-x (1/s≦x≦1/s+1の時), 0 (other x) [s≠0の時]

とすればBは開集合になっていますし,
f(x,s)はA×Bで連続ですが
F(s):=∫_A f(x,s)dx=[c_1]_{-∞}^{1/s-1}=0 [s=0の時]、
[c_2]_{1/s-1}^{-∞}=0 (x<1/s-1の時)
[x^2/2-x/s+x]_{1/s-1}^{1/s}=2/s+1/2 (1/s-1≦x≦1/sの時),
[x/s+x-x^2/2]_{1/s}^{1/s+1}=1/2 (1/s≦x≦1/s+1の時),
[c_3]_{1/s+1}^{+∞}=0  (1/s+1<xの時) [s≠0の時]
(但し,c_1,c_2,c_3は定数)

即ち, F(s)=0 (s=0の時), 0+(2/s+1/2)+1/2+0 (s≠0の時)
即ち, F(s)=0 (s=0の時), 2/s+1 (s<0または0<sの時)
そして,
lim_{s→0}F(s)=lim_{s→0}(2/s+1)=∞なので
F(s)はs=0にて不連続。

で宜しいでしょうか?