ご回答誠に有難うございます。

>>> 実際には, I 上殆ど至るところの x について
>> ここでは任意の測度空間と仮定してあるのでしょうか?
> 無論, 任意の測度空間でも構いませんが, ここでは
> 実数上の Lebesgue 測度についての話です.

了解です。

>> 後,IはR上の開集合としてもいいのでしょうか?
> はい.

了解です。

>>> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) であり,
>>> ある I 上可積分な関数 g(x) について |f_n(x)| \leq g(x) であれば,
>>> \lim_{n \to \infty} \int_I f_n(x) dx = \int_I f(x) dx
>>> が成立するという Lebesgue の定理を使えば,
>>> 面倒なことは必要ないのです.
>> Lebesgue dominated convergence theorem
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_9523__00.jpg
>> の事ですよね。
> 記号に怪しげなものもありますが,

あ、長矢印は夫々,converges in measure, a.e.converges, L^1 convegesでした。

> 基本的には良いでしょう.

有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_297__02.pdf
>> でいいのですね。
> Real part と Imaginary part に分けることに意味がない
> という話は既にしました.

でも
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_297__02.pdf
でのProp199.9524は上述されてるように実数上での命題なのですよね。
Re部とIm部に分けないとProp199.9524が使えないのではないのでしょうか?

>>> 実変数 u と複素変数 z の関数 f(u, z) に対し
>>> F(z) = \int_1^\infty f(u, z) du によって定義される関数が
>>> z の正則関数であることを示すには,
：
> 複素変数の s, t についての u^t, u^s については適用できませんから,
> 正しくありません.

そうでしたか。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99495__00.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99495__01.jpg
となったのですが
1/(1-exp(-1)) ∫_1^∞exp(-uRe(s))|(u^{t-1}-u^{s-1})/(t-s)-(ln(u)u^{s-1}|du
は一体何で抑えれるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__04.jpg
>> とすれば良かったのですね。
> (i) はそれで良い. (ii) は (i) から明らかに間違い.
> \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-u)/(1 - \exp(-u)) du
> が複素数平面上正則なので,
> \zeta(s) \Gamma(s) - \sum_{n=0}^\infty (B_n(1)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
> はやはり複素数平面上正則. 極は持ちません.
> \zeta(s) \Gamma(s)
> および
> \sum_{n=0}^\infty (B_n(1)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
> は s = 0, -1, -3, \dots, に一位の極を持ちます.

でもこれらの差ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n(1)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
はs=0,-1,-3,…で正則になるのはどうしてなのでしょうか?

実際,z=z_0はf(z)とg(z)のn位の極とする時,f(z)=1/(z-z_0)^n φ(z),
g(z)=1/(z-z_0)^n ψ(z) (但し,φ(z),ψ(z)はz=z_0で正則でφ(z_0)≠0,ψ(z_0)≠0) 


と書けますがf(z)-g(z)=1/(z-z_0)^n (φ(z)-ψ(z))とはなりますがこれがz=z_0で正則とは分かりませんよね?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1025__02.jpg
>> と少し訂正致しました。　
> C^\infty という表記を使うと, 実関数に対するものを普通考えます.
> 解析的というのはその場合 C^\omega と表すものですが,

fは開領域Aで何度でも微分可能はC^ωと表記するのですね。

> ここは単に analytic と書くのが良いでしょう.

「fは開領域AでC^ω」と「fは開領域Aでholomorphic」という意味なのですね。

>>> A 上正則な関数 F(z) は自動的に A 上解析的になり,
>>> 特に A 上何回でも微分できて導関数は全て連続になります.
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1025__02.jpg
>> でいいのですよね。
> 不自然な記号がつかわれていることを除けば, まあ良いでしょう.

有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_4__00.jpg
> 実部・虚部に分けることには意味がありません.

えっ? 分けなかったら3行目からは一体どうすればいいのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_4__01.jpg
>> と訂正してみたのですが末行から2行目にて
>> ∫_0^∞1/x exp(πx)/(exp(πx)-1) dx が収束しそうにありません。
>> どうすれば
>> |Re(x^{s/2})1/x 1/(1-exp(-πx))|∈L^1((0,∞),Brl((0,∞)),dx)
>> が言えますでしょうか?
> 先ず, Re(x^{s/2}) の書き換えが間違っています.
> Re(\exp((s/2) \log(x))) の \log(x) を外に出してはいけません.
> そもそも実部・虚部に分けるのが間違いの元.
>  \sum_{n=1}^k |x^{s/2-1} \exp(- \pi n^2 x)|
>   = \sum_{n=1}^k x^{Re(s)/2-1} \exp(- \pi n^2 x)
>   \leq \sum_{n=1}^k x^{Re(s)/2-1} \exp(- \pi n x)
>   \leq x^{Re(s)/2-1} \exp(- \pi x)/(1 - \exp(- \pi x))
>      = x^{Re(s)/2-2} \exp(- \pi x) (x/(1 - \exp(- \pi x)))

有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_4__02.jpg
となったのですが下から2行目の積分が収束する事はどうすれば言えますでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__08.jpg
>> のようにRe(s)>1の範囲を広げる事が可能なのですね。
> Re(s) > 2 での式を書き換えたものが
> 任意の複素数 s で意味を持つようになれば,
> それが解析接続した関数の表示になります.

これは納得です。

>>> いずれにせよ, 貴方は何も証明できていないわけです.
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem1_2__05.pdf
>> とRe(s)>1でtheorem1.2を特に支障なく証明できた(つもり(?))なのですが
> 既に, [Prop211.4] の証明は, 式変形からして間違っているし,
> 何も証明されていないということを述べました.
> それを使っている [Theorem1.2] の (iii) の証明も無効です.

そうですか。

>> 一体どこでRe(s)>2が効いてくるのでしょうか?
> x^{Re(s)/2-2} \exp(- \pi x) (x/(1 - \exp(- \pi x)))
> が (0, +\infty) 上可積分になるのは Re(s) > 2 の時です.

なるほど。

>>> F(s) = \int_1^\infty f(x, s) dx の正則性を証明するには
>>> \lim_{h \to 0} (F(s+h) - F(s))/h
>>>  = \int_1^\infty { \partial f \over \partial s }(x, s) dx
>> どうして
>> lim_{h→0} (F(s+h) - F(s))/h=∂/∂s∫_1^∞f(x, s) dx
>> ではなく,
>> lim_{h→0} (F(s+h) - F(s))/h=∫_1^∞∂/∂sf(x, s) dx
>> なのでしょうか?
> (d/ds)(F(s)) = (d/ds)(\int_1^\infty f(x, s) dx)
>  = \lim_{h \to 0} (F(s+h) - F(s))/h
> というのはただの定義の式. この極限が存在することを
> 証明するには, 実は,
> (d/ds)(F(s)) = (d/ds)(\int_1^\infty f(x, s) dx)
> は \int_1^\infty { \partial f \over \partial s }(x, s) dx で
> 与えられるということを見越して使うの良い,
> というのが Hint になります.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__00.jpg
という命題があるのですね。

>> ここの入れ替えはそう簡単には言えないのでしょうか?
> 当然, そこが本質的に示すべきことですから.

そうだったんですか。

>>>  \int_1^\infty x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
>>>  \int_1^\infty x^{(1-s)/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x)) dx
>>> の両方について正則性を示すわけですが,
>>> それには, 例えば前者については,
>>>  \lim_{h \to 0}
>>>   (\int_1^\infty ((x^{h/2} - 1)/h - (1/2) \log(x))
>>>                  \times x^{s/2-1} (\sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x))
>>> dx)
>>>   = 0
>>> を示せば良い.
>> つまり,f(s,x)がs=aで微分可能である事は
>> lim_{h→0}[(f(s+h)-f(s))/h - (∂/∂s)f(s,x)]=0を言えばよいと仰ってるのですよね。
> 違いますよ. [(f(s+h, x) - f(s, x))/h - { \partial f \over \partial
> s }(s,x)]
> を (0, +\infty) で積分したものが h \to 0 で 0 に収束することを
> 示す必要があります. 各点ごとに,
> \lim_{h \to 0}
>  [(f(s+h, x) - f(s, x))/h - { \partial f \over \partial s }(s, x)]
>  = 0
> であることは当然ですが, それだけでは Lebesgue の定理は適用できません.

Lebesgueの定理で
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__00.jpg
の3行目から4行目とlim_{h→0}を∫内に入れれる訳ですね。でも
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_9524__00.jpg
を見ると,極限はlim_{h→0}ではなくlim_{n→∞}となっていますが。。。

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__00.jpg
の∫内は関数列になってませんよね。

>>> これの扱い方については, 以前も述べましたし,
>>> 最近の別の投稿でも述べました. 後者についても同様です.
>> lim_{h→0}(∫_1^∞((x^{h/2} - 1)/h-(1/2)ln(x))
>>                 x^{s/2-1}(Σ_{n=1}^∞exp(-πn^2 x))dx)=0
>> は上のlim_{h→0}[(f(s+h)-f(s))/h - (∂/∂s)f(s,x)]=0を表しているのですよね。 
>> 
> だから, 違います. Lebesuge の定理を適用するのに必要なのは
> |(f(s+h, x) - f(s, x))/h - { \partial f \over \partial s }(s, x)|
> を可積分関数 g(s) で,
> |(f(s+h, x) - f(s, x))/h - { \partial f \over \partial s }(s, x)| \leq
> g(s)
> と評価することです.

了解です。

>> 取りあえず
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__01.jpg
>> となったのですが下から5行目から4行目への変形はどうして出来るのでしょうか?
> \int_1^\infty x^{s/2-1} \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x) dx
> の正則性と,
> \int_1^\infty x^{(1-s)/2-1} \sum_{n=1}^\infty \exp(- \pi n^2 x) dx
> の正則性とは別個に議論した方が良い.
> 前者が全複素数平面で正則であれば,
> 後者は s を 1 - s に置き換えただけですから,
> やはり全複素数平面で正則です.

これは成程です。

>> それと下から4行目でlimを∫の中に入れれるのは何故なのでしょうか?
> Lebesgue の定理をお使い下さい.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__00.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__03.pdf
となったのですが末行から2行目ではどうすれば
L^1((1,∞),Brl(1,∞),dx)の元である事が言えますでしょうか?
それとこれもですがlim_{n→∞}ではなくlim_{C∋h→0}となっているのですが
どうしてProp199.9524が使えるのでしょうか?