ご回答誠に有難うございます。

>> でも
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_297__02.pdf
>> でのProp199.9524は上述されてるように実数上での命題なのですよね。
> そんなことを言った覚えはありませんが.

121017200820.M0100435@ras1.kit.ac.jp
での
「> 後,IはR上の開集合としてもいいのでしょうか?
 はい.」
なのですが。
するとIはC上の開集合としてもいいのですね。

>> Re部とIm部に分けないとProp199.9524が使えないのではないのでしょうか?
> Lebesgue の定理は複素数値関数でも成立します.
> # その証明では, 実部・虚部に分けることもあるでしょう.

了解です。

> 平均値の定理やロピタルの定理の場合と混同しているのでは
> ありませんか.

そのようです。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99495__00.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99495__01.jpg
>> となったのですが
>> 1/(1-exp(-1))
>> ∫_1^∞exp(-uRe(s))|(u^{t-1}-u^{s-1})/(t-s)-(ln(u)u^{s-1}|du
>> は一体何で抑えれるのでしょうか?
> t = s + h とおいて, u^{s-1} を括り出しておくのが分かりやすい.
> x は正の実数でしか考えていません.

Re(x)>0でいいのですね。

> と, いうことで,
> \exp(-xu) u^{Re(s)-1}/(1-\exp(-x)) \times |(u^h - 1)/h - \log(u)|
> を可積分関数 g(u) で上から抑えるわけですが,
>  |(u^h - 1)/h - \log(u)|
>   = |\sum_{n=2}^\infty h^{n-1} (\log(u))^n/n!|
>   \leq |h| (|\log(u)|)^2 \sum_{n=2}^\infty (|h||\log(u)|)^{n-2}/n!
>   \leq |h| (|\log(u)|)^2 \sum_{n=2}^\infty (|h||\log(u)|)^{n-2}/(n-2)!
>      = |h| (|\log(u)|)^2 e^{|h||\log(u)|}
> であり, 1 \leq u であれば 0 \leq \log(u) だから,
>  |(u^h - 1)/h - \log(u)|
>    \leq |h| (\log(u))^2 u^{|h|}
> となります.

お蔭様で上手くいきました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99495__01.pdf
でいいのですね。

>>> \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-u)/(1 - \exp(-u)) du
>>> が複素数平面上正則なので,
>>> \zeta(s) \Gamma(s) - \sum_{n=0}^\infty (B_n(1)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
>>> はやはり複素数平面上正則. 極は持ちません.
>>> \zeta(s) \Gamma(s)
>>> および
>>> \sum_{n=0}^\infty (B_n(1)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
>>> は s = 0, -1, -3, \dots, に一位の極を持ちます.
>> でもこれらの差ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n(1)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
>> はs=0,-1,-3,…で正則になるのはどうしてなのでしょうか?
> 差が \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-u)/(1 - \exp(-u)) du に一致するから,
> です.

最終的にはそのようになろうと思いますが
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__05.jpg
という風に,[1]と[3]より,[6]となり,[6]と[7]から[10]という結論になってs=1,0,-1,-3,…でどうしても正則とならないのですが,何処を間違っておりますでしょうか?

>> 実際,z=z_0はf(z)とg(z)のn位の極とする時,f(z)=1/(z-z_0)^n φ(z),
>> g(z)=1/(z-z_0)^n ψ(z) (但し,φ(z),ψ(z)はz=z_0で正則でφ(z_0)≠0,ψ(z_0)≠0) 
>> 
>> と書けますがf(z)-g(z)=1/(z-z_0)^n (φ(z)-ψ(z))とはなりますが
>> これがz=z_0で正則とは分かりませんよね?
> それは当然ですが,

そうでしたか。

> 今の話とは無関係.
>>> C^\infty という表記を使うと, 実関数に対するものを普通考えます.
>>> 解析的というのはその場合 C^\omega と表すものですが,
>> fは開領域Aで何度でも微分可能はC^ωと表記するのですね。
> 違います. ベキ級数による表示を持つ場合に C^\omega と
> 表記します.

「fが領域Aでベキ級数に展開可能⇔fはAで解析的」という関係があるからなのですね。 


更に「fが領域Aで解析的⇔fがAで微分可能⇔fがAで何度も微分可能」
なので可算無限を表す順序数"ω"を使用して,C^ωと表記するのですね。

>>> ここは単に analytic と書くのが良いでしょう.
>> 「fは開領域AでC^ω」と「fは開領域Aでholomorphic」という意味なのですね。
> はい.

了解です。

> <http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_4__00.jpg>
> について,
>>> 実部・虚部に分けることには意味がありません.
>> えっ? 分けなかったら3行目からは一体どうすればいいのでしょうか?
> 絶対値を取ったものが可積分関数で上から抑えられる
> ことを示せば良い.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_4__01.pdf
とお蔭様で上手くいきました。
ただ,末行から3行目の[6]にてRe(s)>2でなくRe(s)>0でもProp192.1003(iii)を使えるので
Prop211.4の[0]はRe(s)>0としてもいいのではと思いましたが如何でしょうか?

>>> そもそも実部・虚部に分けるのが間違いの元.
>>>  \sum_{n=1}^k |x^{s/2-1} \exp(- \pi n^2 x)|
>>>   = \sum_{n=1}^k x^{Re(s)/2-1} \exp(- \pi n^2 x)
：
> x^{Re(s/2)-2} \exp(- \pi x) x/(1 - \exp(- \pi x)) も可積分.

大変有難うございます。よく考えたら
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_4__01.pdf
のProp192.10003が使えましたね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__00.jpg
>> という命題があるのですね。
> それが間違っていることは別の投稿で既に述べました.

どのように訂正すれば正しくなりますでしょうか?

Prop192.10007の(iii)が間違っているのでした
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__04.jpg
の上から三行目はどのように乗り切ればいいのでしょうか?

>> Lebesgueの定理で
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__00.jpg
>> の3行目から4行目とlim_{h→0}を∫内に入れれる訳ですね。
> Lebesgue の定理を適用するには, 確かめておくべき条件が
> あることは注意しておきましょう.


http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__05.pdf
の3ページ目の下から2行目の[10.5]の条件が必要なのですね。

>> でも
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_9524__00.jpg
>> を見ると,極限はlim_{h→0}ではなくlim_{n→∞}となっていますが。。。
> 関数列の極限で成立することを用いて,
> 関数の１パラメータ族の極限で成立することを示すのは
> 容易です.

すみません。これは具体的にどういうことでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__00.jpg
>> の∫内は関数列になってませんよね。
> どちらでも同じです.

lim_{h→0}f_h(s)をlim_{n→∞}f_{1/n}(s)と見立てるのかとも思いましたがhは複素数ですが1/nは有理数ですよね。
なので気楽の変数変換出来ないと思うのですが。。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__00.jpg
> これはちゃんと修正して下さい.

すっすみません。どのように訂正すればいいのでしょうか(汗)?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__03.pdf
> 途中の |(x^{h/2} - 1)/h| \leq |\log(x)/2 + 1| + 1 の不等式も
> その証明も駄目です.
> 先ず, \lim_{h \to 0} (x^{h/2} - 1)/h = \log(x)/2 です.
> このことは単純に x^{h/2} = \exp(\log(x) h/2) の
> h = 0 での微係数から分かることですが,

なるほどです。これは気づきませんでした。

>その証明で
> 複素変数の h であるのにロピタルの定理が成立するかの如き
> 式変形をするのも駄目ですし, 計算も間違っています.

有難うございます。d/dh (x^{h/2}-1)=x^{h/2}ln(x)でしたね。

> 又, 各 x について,
> \lim_{h \to 0} (x^{h/2} - 1)/h = \log(x)/2 ですが,
> その収束が x について一様であることは示されていませんから,
> |h| \leq \delta であれば,
> x \in [1, +\infty) で一様に
> |(x^{h/2} - 1)/h - \log(x)/2| < 1
> と評価できるような \delta の存在は仮定できません.
> 実際,
>  (x^{h/2} - 1)/h - \log(x)/2
>   = ((\sum_{n=0}^\infty (h \log(x)/2)^n/n!) - 1)/h - \log(x)/2
>   = \sum_{n=2}^\infty h^{n-1} (\log(x)/2)^n/n!
>   = h (\log(x)/2)^2 \sum_{n=2}^\infty (h \log(x)/2)^{n-2}/n!
> という式を見れば, この収束が一様でないことは自明です.

そうでした。どんなh≠0を採ってもxをどんどん大きくすれば|(x^{h/2}-1)/h|は幾らでも大きくなりますね。

>> となったのですが末行から2行目ではどうすれば
>> L^1((1,∞),Brl(1,∞),dx)の元である事が言えますでしょうか?
> 1 \leq x においては,
>  |(x^{h/2} - 1)/h - \log(x)/2|
>   \leq |h| (\log(x)/2)^2 \sum_{n=2}^\infty (|h| \log(x)/2)^{n-2}/n!
>   \leq |h| (\log(x)/2)^2 x^{|h|/2}
> であることを使うと良いでしょう.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__05.pdf
3ページの末行から
|∫_1^∞((x^{h/2}-1)/h-ln(x)/2)x^{s/2-1}Σ_{n=1}^∞exp(-πn^2x)dx|
≦∫_1^∞|h|(ln(x)/2)^2x^{|h|/2}dx
への変形を試みましたが4ページ目の下から4行目にて
∫_1^∞(1/|h| x^{|h|/2}+1/|h|+ln(x)/2)x^{Re(s/2)-1}・2dx
≦∫_1^∞1/|h| x^{|h|/2}-1/|h|-ln(x)/2 dx
という不等式がどうして成立つのでしょうか?
あと, 5ページ目の下から3行目の[14]にて
∫_1^∞|h|(ln(x)/2)^2x^{|h|/2}dxが可積になる事はどうすれば分かりますでしょうか?