ご回答誠に有難うございます。

>> R^nはn次元実数空間とか言ったりしないのですかっ?
> 「実数体 R 上の n 次元数ベクトル空間 R^n」ですね.

C^nも「複素数体C上のn次元数ベクトル空間」と呼ぶのですね。

>> 集合・位相空間要論(青木利夫著)のp42の載っておりますが。
> こういうところで省略するのは良い習慣ではありません.
> まねをしてはいけません.

了解です。

> Re I だとか Im I だとかには意味がないと分かった上で,

はい。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100063__01.jpg
>> からだとどうしても
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__03.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__04.jpg
>> が導けなかったので,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100063__00.jpg
>> は　
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__03.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__04.jpg
>> に何とか繋げる為に苦し紛れに自作した命題だったのです。
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__03.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__04.jpg
>> を導くにはどうすればいいのでしょうか?
> そういう命題を考えようとするのはどうしてですか.

Prop192.100065が
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__10.pdf
の末行から3行目で必要になるし,
Prop192.10007を証明する上ででもProp192.100065が必要になるので
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__01.pdf
のように上から順に証明して行き,Prop192.100065に辿り着いたのです。　

それ故に
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__03.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__04.jpg
という命題を用意せざる得なかったのでした。

>> s=1,0,-1,-3,…に近づくに連れて,
>> ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))は無限大に飛ぶので
>> どうみてもs=1,0,-1,-3,…は極にしか見えないのですが。
> 無限大には「飛び」ませんよ. どうして「無限大に飛ぶ」と
> 思うのですか.

非整数のsがs=1,0,-1,-3,…らの各整数に近づくに連れて,
ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))にて分母が0になる項が現れて来るからです。

>>> 有理形関数の高々極である点での Laurent 級数展開は
>>> その点の近傍からその点を除いたところでの関数の積分から定まります.
>> 積分で決まるとは
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_265__00.pdf
>> という事ですよね。
> a を中心とした円板 D から a を除いた領域で正則な関数 f(z) は
> f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z - a)^n
> という Laurent 級数展開を持ち, その係数 a_n は
> 円板 D 内の a を一周する閉曲線を C とするとき,
> a_n = (1/(2 \pi i)) \int_C f(z)/(z - a)^{n+1} dz
> で与えられます.
> f(z) が z = a でも正則であれば,
> 負の整数 n について a_n = 0 ですから,
> Laurent 級数展開は Taylor 級数展開になります.

fがz=aで正則なら,fはz=aででも連続であるのでf(a)∈Cで
今,f(z) = Σ_{n=-∞}^∞ a_n (z - a)^nだらか
C∋lim_{z→a}f(z)=f(lim_{z→a}z)=Σ_{n=-∞}^∞ a_n (lim_{z→a}z - a)^n
=Σ_{n=-∞}^∞ a_n (a - a)^n.
これがCの元であるには,a_{-1}=a_{-2}=…=0でなければ成りませんね。

>>> 一方がその点で正則で, Laurent 級数展開の負ベキの部分を持たないなら,
>>> もう一方の Laurent 級数展開も負ベキの部分を持たず,
>>> 従って, その点は除去可能な特異点です.
>> えっ,つまり,C⊃Dが開領域とし,
>> f,g∈Map(D,C∪{∞})で∀z∈D\setminusf^-1(∞)∪g^-1(∞)に対して,f(z)=g(z)とする
>> (即ち,D上で有理形的に等しい)。
> その仮定の仕方がおかしい.
> f, g が領域 D 上の有理形関数として一致するというのは,
> f も g も領域 D から孤立点からなる集合 S を除いた領域 D' 上で
> 正則であり, 一致している, S の点は f, g の「高々」極である,
> とのみ仮定しているのであって,
> S の点 a が f や g の本当に極であるか, それとも正則点であるか
> が予め定まっているわけではありません.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_meromorphic__06.jpg
が有理形関数の定義ですよね。

なので関数f,gが開領域Dで有理関数として一致しているとは,
fのD'とgのD'が一致している場合の時を言うのですよね?

>> この時,もし∃α∈D;α∈f^-1(∞)且つgはαで正則
>> ならば f(α):=g(α)と妥協させる。
>> つまり,或る点はfの特異点でありgの正則点であるなら
>> その点はfの"除去可能な"特異点にさせられる(fはgに服従する)。
>> という妥協(?)の定義というものがあるのでしょうか?
> a が g の正則点であったなら,
> a は f にとっても正則点であることが判明する,

これは正確には「f(a):=g(a)と定義するし更に,fはz=aででも正則とも定義する」
ですよね(∵除去可能な特異点の定義)?

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__06.jpg
では左辺の∫_1^∞exp(-u)u^{s-1}/(1-exp(-u)) duはC上で正則(つまり,D'=Cとなっている)ですが,
右辺のζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(-1)^n Bnl(n,1)/(n!(s+n-1))でのD'はC\setminus
{1,0,-1,-3,…}になっているで互いのD'は一致せず
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_meromorphic__06.jpg
より有理形関数として左辺と右辺は一致しないとなってしまうのですが、、

> というだけの話です.

あぁ、やっと分かりました。有理形関数の定義
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_meromorphic__06.jpg
より
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__06.jpg
での右辺のζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(-1)^n Bnl(n,1)/(n!(s+n-1))は
s=1,0,-1,-3,…ででも正則となるのですね。

>> 各左辺は無限大で
> 無限大ではありませんよ.
>> 各右辺は複素数値ですが妥協の定義から
> 「妥協の定義」などはありませんよ.
>> ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))はs=1,0,-1,-3,…で
>> ∫_1^∞exp(-u)u^{1-1}/(1-exp(-u))du,
>> ∫_1^∞exp(-u)u^{0-1}/(1-exp(-u))du,
>> ∫_1^∞exp(-u)u^{-1-1}/(1-exp(-u))du,
>> 鐚}丘刋タ償という複素数値を採る(事を妥協させられる)のですね。
> 単に, そういう値を取る, というだけです.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__02.pdf
とお蔭様で漸く解決できました。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__10.pdf
>> とお陰様で漸く解決できました。
> 良いでしょう.

どうも有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006__00.pdf
>> と改訂致しました。相変わらずでしょうか?
> 相変わらずですね.
>> Prop192.100064とProp192.100065とは同じでしょうか?
> [Prop192.100065] は駄目ですが,
> [Prop192.100064] では実数直線の領域である B について
> Re B とか Im B とか訳のわからないものが出て来ますから,
> より酷いという評価はできるかも知れません.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__02.pdf
題意中でRe(I)やRe(f_k(I))やRe(h(B))としているから命題になっていないのですね。 


大変申し訳ありません。
ではどのように訂正すれば宜しいでしょうか?

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006305__00.jpg
という風にf_k,fの値域は複素数なのでCをR^2と見做して訂正を試みましたがやはりダメでしょうか?

因みにproj_1,proj_2は直積集合φ(I)の第一成分,第二成分を採る写像を意味してます。 


>> 結論での関数fの第一変数が数列a_n(つまり離散)と
>> 複素数s(つまり,連続)という違いになっているのですが。
> 前者についての Lebesgue の定理から後者についての Lebesgue の定理を
> 導けていない, ということで, 評価できません.

Prop192.100064からProp192.100065を導いてないと仰るのですね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__03.pdf
の末行から5行目の所でProp192.100064を一応は用いておりますが。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000637__00.jpg
>> でいいのでしょうか?
> 良くはありません.
> どうして \lim_{n \to \infty} a_n = s_0 である数列の全体とすべきところを
> S などという s_0 を集積点として持つ数列の全体を持ち出すのか,
> 理解に苦しみます. それはただの勘違いであるとしても,
> \lim_{s \to s_0} f(s) = \ell が成立する \ell の全体 L_1 も
> \lim_{n \to a_n} = s_0 であるとき常に \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \ell が
> 成立する \ell の全体 L_2 も, 空集合であるか, 1 点からなる集合であるか,
> のいずれかであり,

仰る通りでした。極限の一意性より極限があるとすれば唯一つだけなので
L_1,L_2は単集合か空集合かのどちらかでした。

> L_1 が空集合でなければ, L_1 = L_2 は明らかなので,
> L_1 が L_2 を含まないのは L_2 が空集合でなく, L_1 が空集合の時
> だけですから, そう仮定して矛盾を導くという方針になりますが,
> 貴方は L_1 も L_2 も空集合でなく異なるという, 有り得ない場合だけを
> 考えているので, 証明になっていません.
> もう一度言います. \ell' の存在を仮定するのは良いが,
> \ell が存在しない場合に矛盾を導かないといけない.
> \ell が存在する場合のことを述べても意味がありません.

なるほどです。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000637__00.jpg
は意味不明でした。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__04.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__05.jpg
>> とlを取っ払いました。これなら特に問題ないと思うのですが、、如何でしょうか?
> 取っ払ったところで, "\lim_{s \to s_0} f(s)" が存在しない場合を
> 扱うときに, "\lim_{s \to s_0} f(s)" を中心とする半径 \epsilon の
> Ball なんぞに意味がある筈がないではないですか.
> 全く無意味です.

つまり,
"for∀ε∈R^+,∃δ∈R^+; f(Ball(s_0,δ)\setminus 
{s_0}∩A×{x})⊂Ball(lim_{s→s_0}f(s,x),ε)"
の否定は
"∃ε∈R^+;for∀δ∈R^+,f(Ball(s_0,δ)\setminus {s_0}∩A×{x}) \not \subset 
Ball(lim_{s→s_0}f(s,x),ε)"
ではないのですね。
そうしますと,
"for∀ε∈R^+,∃δ∈R^+; f(Ball(s_0,δ)\setminus 
{s_0}∩A×{x})⊂Ball(lim_{s→s_0}f(s,x),ε)"
の否定は何になるのでしょうか?

>> それと
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__03.jpg
>> と発散のケースについても証明しているのですが
> これも証明になっていない.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__06.jpg
と訂正致しましたがこれなら如何でしょうか?

>> 十分性の反例について
>> f(s,x):=exp(s), s_0:=0
>> が挙げられるそうなので,
> それは間違い. x は関係ないので, f(s) についての話として,
> f(s) = \exp(1/s) であれば, s = 0 が essential singularity
> にはなりますが, 数列の極限と関数の極限の話についていえば,
> それは無関係な事柄です.
> 無関係であるというのは, f(1/n) = \exp(n) ですから,
> \lim_{n \to \infty} f(1/n) = \infty ですが,
> それは a_n = 1/n という特別な数列についてだけであるので,
> \lim_{n \to \infty} a_n = 0 となる任意の数列 a_n について
> \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \infty とはなっていないのです.

えーと,今,反例を要しているのだから,何か反例となる特別な数列を一つ挙げるだけで十分なのではないのでしょうか?

>> Picardの定理
>> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
>> を使うそうなのですが
>
> Picard の定理を使うと, \lim_{n \to \infty} a_n = 0 であるが,
> \lim_{n \to \infty} f(a_n) が \infty にならないような
> 複素数列 { a_n }_{n=1}^\infty の存在が分かります.
> この場合は具体的に構成出来てしまいますが.

f(s):=exp(s)とすればlim_{n→∞}a_n=0だがlim_{n→∞}f(a_n)=1≠∞
となりますが,,,
Picardの定理はこんな単純なものではないのですね(多分)。

>> どうしてf(s,x):=exp(s)と採った場合,
> f(s) = \exp(1/s) でしょう.

そうでした。

>> lim_{n→∞}f(a_n,x)=∞なる任意の(a_n)∈Sに対して,
>> lim_{s→s_0}f(x,s)≠∞となる事はどうすれば言えるのでしょうか?
> 証明すべきことを見失っているようですね.

そうでした。証明すべき事は
lim_{n→∞}f(a_n,x)=∞なる任意の(a_n)∈Sに対して"一般には"
lim_{s→s_0}f(x,s)≠∞である事を示すのでした。
つまり,反例を挙げる事です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__00.pdf
>> これなら如何でしょうか?
> 駄目である理由は既に述べました.

はい。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006__00.pdf
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000637__00.jpg
>> でも駄目でしょうか?
> はい, 駄目です.

Re(f_k(I))やIm(f(I))とかが出て来てるからですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__02.pdf
>> と訂正致しましたがこれでは如何でしょうか?
> 間違っていない所を見つける方が難しい.

これもRe(f_k(I))やIm(f(I))とかが出て来てるからですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__03.pdf
>> でのProp192.100067が有限増分不等式になるのですね。
> (d/dt) の意味が分かっていますか.

導関数を求めるという意味ですよね。
あっと,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100067__00.jpg
と書かねば意味がありませんでしたね。

>> 早速利用してみましたが,
> 有限増分不等式では s と s + h を結ぶ線分を考えるのです.

閉区間ではなく線分なら,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100067__01.jpg
と書き換えてもいいのでしょうか?

>> 4ページ目の3行目でBが閉区間になる事と
> 上の線分を考えれば良い.

了解です。

>> 4行目で優級数関数|h|sup{|∂/∂t f(x,t)/h|∈R;t∈B}が
> 「優級数関数」とは何でしょう.

優関数の間違いでした。

>> L^1(A,Brl(A),dx)の元になる事はどうすれば言えるのでしょうか?
> それは無条件でそうなるわけではないので,
> f それぞれの場合に考えることになります.

すみません。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__04.pdf
と取りあえずなったのですが2ページ目末行ではどのようにfを場合分けするのでしょうか?

あと,同じく2ページ目の下から2行目にてf(x,s)/hがA×BでC^1級である事を言わねば成らないのですが,
どうすれば言えますでしょうか?

更に,2ページ目の[1.2]にて,Re(∂/∂s f(A,s))と書いてしまいました。このようなReの使い方はNGですよね。
どのように書き換えればいいのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/figure__00.JPG
>> で宜しいでしょうか?
> それと, s \neq 0 を一つ固定した時の x の関数,
> f(s, x) = x - 1/s + 1  (1/s - 1 \leq x \leq 1/s),
> f(s, x) = 1/s - x + 1  (1/s \leq x \leq 1/s + 1),
> f(s, x) = 0  (otherwise), のグラフと,
> 何の関係があるのですか.

誠に申し訳ありません。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/figure__00.JPG
は
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000625_00.jpg
の為の図でした。

一応,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/figure__20.jpg
となりました。
夫々の直角三角形の面積は1/2で合計の面積1/2+1/2=1で
s≠0の時,F(s)=1となり,
s=0の時,F(s)=0なので
Fはs=0にて不連続かと思いましたが,
図では手前の直角三角形はA×B平面下に来ているので,
面積は-1/2であり,奥の直角三角形との合計は-1/2+1/2=0で
s≠0の時もs=0の時もF(s)=0でs=0で連続となってしまい,反例にならないのですが
どうして手前の直角三角形の面積は-1/2ではないのでしょうか?