ご回答誠に有難うございます。

>> C^nも「複素数体C上のn次元数ベクトル空間」と呼ぶのですね。
> はい.

了解です。

>> Prop192.100065が　
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop211_45__10.pdf
>> の末行から3行目で必要になるし,
>> Prop192.10007を証明する上ででもProp192.100065が必要になるので
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__01.pdf
>> のように上から順に証明して行き,Prop192.100065に辿り着いたのです。　
> 連続版のルベーグの定理が必要であることと,
> ルベーグの定理を記述する際に Re h(B) だの Im h(B) だの
> 無意味なものを導入することとは全く関係ないことです.

そうなんですが, 苦し紛れにReh(B),Imh(B)を導入してしまいました。

>> それ故に
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__03.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100064__04.jpg
>> という命題を用意せざる得なかったのでした。
> 複素数平面 \boldmath{C} の領域 I
> # "I" という記号を選ぶセンスの悪さは今問いません.
> に対して \Re I や \Im I とは何で,
> それを考えることにどんな意味があるというのですか.

これについても誠に申し訳ありません。

>>> 無限大には「飛び」ませんよ. どうして「無限大に飛ぶ」と
>>> 思うのですか.
>> 非整数のsがs=1,0,-1,-3,…らの各整数に近づくに連れて,
>> ζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))にて
>> 分母が0になる項が現れて来るからです。
> 1/s - 1/s でも分母が 0 になる項が現れるので,

この場合は1/s-1/s=0なので確かに無限大には飛ばない事は認めますが

> 1/s - 1/s は s \to 0 で無限大に飛ぶ
> と主張するわけですか.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__07.jpg
ではs=1,0,-1,-3,…にてζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(1)/(n!(s+n-1)=0
となる事が分からないので,"1/s-1/s=0"のケースとは言えず,従って,無限大になるのはと思ったのです。

然し,ご前述
「このとき
\int_1^\infty u^{s-1} \exp(-u)/(1 - \exp(-u)) du
は s = 1, 0, -1, -3, \dots でも正則ですから,
有理形関数
\zeta(s) \Gamma(s) - \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!)((-1)^n/(s+n-1))
について, s = 1, 0, -1, -3, \dots は除去可能な特異点であり,
s = 1, 0, -1, -3, \dots でも正則であると考えて良いことになります.」
から漸く納得できました。つまり,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__08.jpg
という事なのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_meromorphic__06.jpg
>> が有理形関数の定義ですよね。
> あれほど, 正則性が保証されない孤立点が

これは大変失礼いたしました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_meromorphic__07.jpg
という具合に"IS(f):={s∈A;z is an isolated singular point of f}"と訂正致しました m(_ _)m

非正則の場合は孤立特異点と呼ぶのですよね。

> 真性特異点でないこと,

孤立特異点で真性特異点でないなら,極か除去可能な特異点のどちらかですね。

> も要件に入っていると繰り返したのに,

極⊂孤立特異点,
除去可能な特異点⊂孤立特異点
という包含関係がありますよね。

ところで
複素関数葉論(青木利夫著)のp81の上から3行目に
「集積特異点も真性特異点に含める」
と述べてあります。 真性特異点は孤立特異点の一種ですよね。
だから集積特異点は孤立特異点の一種と言えると思いますが
http://homepage2.nifty.com/eman/math/imaginary09.html
では集積特異点と孤立特異点は全く異なる概念のように述べてあります
が恐らく,
集積特異点と孤立特異点をあわせて、真性特異点というのだと推測します。
そして,
よく"真性(孤立)特異点"という表記を見かけるので,真性特異点には孤立な真性特異点と孤立してない真性特異点と二種類あるのですね。

そうしますと
集積特異点∪孤立特異点 = 真性特異点,
真性特異点∪極 = 特異点,
孤立な真性特異点∪非孤立な真性特異点=真性特異点,
孤立な真性特異点⊂孤立特異点,
非孤立な真性特異点⊂集積特異点,
という包含関係が成り立ちますでしょうか?

更に
真性特異点の幾何学的意味は何なのでしょうか?

真性特異点の定義は
Laurent展開した時,主要部の項が無限個或る場合,その中心となる点の事だと思いますが,幾何学的意味としてはどのようなものなのか調べてもなかなか見つかりません。

あと,真性孤立特異点と孤立してない真性特異点の定義はそれぞれ
真性特異点且つ孤立点,真性特異点且つ非孤立点
という解釈で宜しいでしょうか?

> 結局認識が改まらなかった
> ということですね.

ご前記事の
「 f, g が領域 D 上の有理形関数として一致するというのは,
 f も g も領域 D から孤立点からなる集合 S を除いた領域 D' 上で
 正則であり, 一致している, S の点は f, g の「高々」極である,
 とのみ仮定しているのであって,
 S の点 a が f や g の本当に極であるか, それとも正則点であるか
 が予め定まっているわけではありません.」
の箇所について仰ってるのですよね。

>> なので関数f,gが開領域Dで有理関数として一致しているとは,
>> fのD'とgのD'が一致している場合の時を言うのですよね?
> D の孤立点からなる集合 S を D から除いた集合 D' = D \setminus S 上で
> f と g が一致していれば良いわけです.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_meromorphic__07.jpg
ではIS(f)≠φやIS(g)≠φと仮定はしておらず,高々極の内,正則な場合は,
IS(f)=φやIS(g)=φと看做せばいいだけの事だと思います。

従って,IS(f)は高々極も除去可能な特異点のケースも含んでいる事になると思います。 


>> これは正確には「f(a):=g(a)と定義するし更に,fはz=aででも正則とも定義する」
>> ですよね(∵除去可能な特異点の定義)?
> f(a) = g(a) と定義することにより,
> f は z = a でも正則な関数に拡張されるのです.

これは除去可能な特異点の約束事でしたね。
納得です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__06.jpg
>> では左辺の∫_1^∞exp(-u)u^{s-1}/(1-exp(-u)) duは
>> C上で正則(つまり,D'=Cとなっている)ですが,
>> 右辺のζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(-1)^n Bnl(n,1)/(n!(s+n-1))でのD'はC\setminus
>> {1,0,-1,-3,…}になっているで互いのD'は一致せず
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_meromorphic__06.jpg
>> より有理形関数として左辺と右辺は一致しないとなってしまうのですが、、
> 左辺は C 上で正則ですから, C から {1, 0, -1, -3, \dots } を
> 除いたところ D' でも正則であり, 上で述べたように,
> 左辺と右辺は複素平面上の有理形関数として一致します.

納得です。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__08.jpg
という具合にζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(1)/(n!(s+n-1)が{1,0,-1,-3,…}にても正則である事が漸く理解できました。

>> あぁ、やっと分かりました。有理形関数の定義
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_meromorphic__06.jpg
>> より
> 先にも述べたように, その定義は間違っています.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_meromorphic__07.jpg
なら正しいですよね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__06.jpg
>> での右辺のζ(s)Γ(s)-Σ_{n=0}^∞(-1)^n Bnl(n,1)/(n!(s+n-1))は
>> s=1,0,-1,-3,…ででも正則となるのですね。
> 結論はそうです.

了解です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__02.pdf
>> とお蔭様で漸く解決できました。
> 解決したというのであればそうしておきましょう.

えっ?
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29995__08.jpg
の通りでいいのですよね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__02.pdf
>> 題意中でRe(I)やRe(f_k(I))やRe(h(B))としているから命題になっていないのですね。 
>> 
> その通り.

これは同意です。

>> 大変申し訳ありません。
>> ではどのように訂正すれば宜しいでしょうか?
> 複素数値であることを気にしているのであれば,
> f の実部を g, 虚部を h として (f = g + i h),
> 各複素パラメータ s について,
> 実部の関数 x \mapto g(s, x) も
> 虚部の関数 x \mapto h(s, x) も
> 可測関数である, としておけば良いでしょう.

有難うございます。f(z)=:g(z)+ih(z)と置いて考えるのですね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/lebesgue_theorem__00.pdf
という風に訂正できましたが,Prop192.1000632がなかなか証明できません。
(|Re(f_k(z)|≦)|f_k(z)|≦∃g(Re(z),Im(z))∈L^1(A,Brl(A),μ) (但し,ここでのμは2次元Lebesgue measure)という仮定から
|Re(f_k(z))|≦∃g'(Re(z))∈L^1(Re(A),Brl(Re(A)),μ)
|Im(f_k(z))|≦∃g"(Re(z))∈L^1(Im(A),Brl(Im(A)),μ)
(但し,ここでのμは1次元Lebesgue measure)
が言えれば,Prop192.1000631に持ち込めて,即証明終わりなのですが、、
一体,どうすれば
|f_k(z)|≦∃g(Re(z),Im(z))∈L^1(A,Brl(A),μ)
から
|Re(f_k(z))|≦∃g'(Re(z))∈L^1(Re(A),Brl(Re(A)),μ)
|Im(f_k(z))|≦∃g"(Re(z))∈L^1(Im(A),Brl(Im(A)),μ)
が言えますでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006305__00.jpg
>> という風にf_k,fの値域は複素数なのでCをR^2と見做して訂正を試みました
>> がやはりダメでしょうか?
> prop192.100065 では定義域 B は実数直線の可測集合ではありませんか.
> prop192.10006305 では定義域が複素数平面の部分集合 I となっていて,
> 統一がとれていませんね.

つまり, Prop192.10006305では関数f,f_kは1変数なのに対して,Prop192.100065ではfは2変数になってますね。
Prop192.10006305は
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/lebesgue_theorem__00.pdf
でのProp192.100063からの複素数バージョン化したのでI⊂Cとなっています。
そして,Prop192.100065はProp192.1000632と
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__01.pdf
のProp192.1000635とから派生したものなのでProp192.100065では定義域が変わって2変数となってしまいました。

うーん、どのようにすれば統一化できるのでしょうか?

> ところで「可測関数」の定義はちゃんと書けるのでしょうね.

はい。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_measurable_function__00.jpg
でいいのですよね(但し,(A,B)は可測空間)。

>> 因みにproj_1,proj_2は
>> 直積集合φ(I)の第一成分,第二成分を採る写像を意味してます。
> R^2 の可測集合 D 上で定義された実数値関数 \varphi が

(R^2,Brl(R^2))をLebesgue可測空間,
D⊂R^2でMap(D,R)∋φはLebesgue可測関数とすると

> 可測であることの定義はちゃんと書けますか.

∀r∈Rに対して,{x∈D;φ(x)>r}∈Brl(R^2)が成立つ時,
φはLebesgue可測関数と言います。

> その定義の中に proj_1, proj_2 は「陽に」出て来ますか.

「陽に」とは表立ってという意味でしょうか?
それでしたら,出てきませんね。

>> Prop192.100064からProp192.100065を導いてないと仰るのですね。
> \Re やら \Im やら意味のないものが満載のものを
> チェックしようとは思いません.
> それに本質はそんなことではないのです.

えっ? それでは何か本質なのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__03.pdf
>> の末行から5行目の所でProp192.100064を一応は用いておりますが。
> だから, 最初から訊いているのは,
> \lim_{n \to \infty} a_n = s_0 となる任意の数列 { a_n } について,
> \lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(s_0) となるならば,
> \lim_{s \to s_0} f(s) = f(s_0) となること
> の証明は理解しているのか, ということです.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192.1000645__00.pdf
と一応,理解しておりますが如何でしょうか?

>> つまり,
>> "for∀ε∈R^+,∃δ∈R^+; f(Ball(s_0,δ)\setminus
>> {s_0}∩A×{x})⊂Ball(lim_{s→s_0}f(s,x),ε)"
>> の否定は
>> "∃ε∈R^+;for∀δ∈R^+,f(Ball(s_0,δ)\setminus {s_0}∩A×{x}) \not 
>> \subset
>> Ball(lim_{s→s_0}f(s,x),ε)"
>> ではないのですね。
> そういった命題は \lim_{s \to s_0} f(s, x) が存在するときでないと
> 「貴方が考えているような意味」を持たないと申し上げました.

そうですね。
否定は
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__07.jpg
の[3.2]と[3.3]になりましょうか?

>> Ball(lim_{s→s_0}f(s,x),ε)"
>> そうしますと,
>> "for∀ε∈R^+,∃δ∈R^+; f(Ball(s_0,δ)\setminus
>> {s_0}∩A×{x})⊂Ball(lim_{s→s_0}f(s,x),ε)"
>> の否定は何になるのでしょうか?
> 点としては定義されない x に対して
> x を中心として半径 \epsilon の円板とは何でしょうか.

Ball(x,ε):={z∈C;|x-z|≦ε}の事です。

> 例えば, 空集合を中心として半径 \epsilon の円とは何でしょうか.

Ball(φ,ε):={z∈C;|φ-z|≦ε}={z∈C;|0-z|≦ε}ですから原点を中心とした半径εの円盤です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__06.jpg
>> と訂正致しましたがこれなら如何でしょうか?
> S の定義はまともになったようですから,

特にS:={(a_n)∈A^{アレフ_0};lim_{n→∞}a_n=s_0}とすべきですよね(でないとf(a_n,s)が定義されない)。

> 後は (i) を証明するだけですね. (ii) は不要です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192.1000635__08.pdf
では如何でしょうか?

> 因みに, \infty をリーマン球面の 1 点と考えるなら,
> (ii) は (i) と同様, 必要十分条件です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_point_at_infinity__01.jpg
が無限遠点∞の定義ですよね。
それで今,P^1(C)にて発散と言ったら,
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/c_seq/c_seq.htm
のような振動,カオスな状態を指すのではなく,∞の状態のみしか指さない(指せない(?))のですよね?

他前記事で
『>http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/c_seq/c_seq.htm
>では複素数列にも振動するケースがある事が述べられてるので
 カオスの話をする場合にはそういう区別が必要なこともあるでしょう.
 「どういう区別が必要か」は「どういう話をするときか」に
 依存します.』
と述べられておりますがまだ蟠りが残っております。関数の極限が∞になる(拡張された複素平面では絶対値が原点からどんどん離れていく事,P^1(C)では北極点に近づいていく事)以外に振動,カオスという状態も(一応は)有り得るのですね。

どうすればP^1(C)での関数の極限での非収束は∞になる事以外(振動,カオス)は考えてはいけない(考えられない)のでしょうか?

それで
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__08.jpg
としてみたのですが
"lim_{s→s_0}f(s,x)∈C \Leftarrow lim_{n→∞}f(a_n,x)∈C for∀(a_n)∈S"の対偶は
"lim_{s→s_0}f(s,x)=∞ ⇒ lim_{n→∞}f(a_n,x)=∞ for∀(a_n)∈S"ではなく,
"lim_{s→s_0}f(s,x)=∞ ⇒ ∃(a_n)∈S;lim_{n→∞}f(a_n,x)=∞"となると思うのですが,,,,勘違いしておりますでしょうか?

もし,P^1(C)上にてlim_{s→s_0}f(s,x)∈Cの否定はlim_{s→s_0}f(s,x)∈{∞}で
拡張された複素平面ならlim_{s→s_0}f(s,x)∈{∞,振動,カオス}という3パターンがある事は紛れも無い事実となのですよね。

このProp192.1000635がP^1(C)ではなく,拡張された複素平面なら, (ii)は⇒も\Leftarrowも成立たないのでしょうか?

>> えーと,今,反例を要しているのだから,
>> 何か反例となる特別な数列を一つ挙げるだけで十分なのではないのでしょうか?
> 違いますよ. どんな S の数列 { a_n }, 即ち,
> \lim_{n \to \infty} a_n = s_0 となる数列 { a_n } に対しても,
> \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \infty であるからといって,
> \lim_{s \to s_0} f(s) が \infty にならない例を挙げることができれば
> それが反例です. 数列ではなく f の例が問題です.

そうでしたね。
A \Leftarrow Bの反例はBが真の時,Aが偽である例の事でしたから
"lim_{s→s_0}f(s,x)=∞ \Leftarrow lim_{n→∞}f(a_n,x)=∞ for∀(a_n)∈S"
の反例は
lim_{n→∞}f(a_n,x)=∞ for∀(a_n)∈Sだが
lim_{s→s_0}f(s,x)∈Cとなる例の事でした。

>> f(s):=exp(s)とすればlim_{n→∞}a_n=0だがlim_{n→∞}f(a_n)=1≠∞
>> となりますが,,,
>> Picardの定理はこんな単純なものではないのですね(多分)。

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/picard_s_theorem__00.jpg
がPicardの(大小)定理ですね。

> だから, Picard の定理に関係するのは s = 0 を真性特異点とする
> f(s) = \exp(1/s) という関数です.
> f(s) = \exp(s) では s = 0 は正則点ですから,
> そういった現象が起きないのは当たり前です.

すみません。未だよく分かりません。
今,Picardの定理を用いて示したいのは,
"lim_{s→s_0}f(s,x)=∞ \Leftarrow lim_{n→∞}f(a_n,x)=∞ for∀(a_n)∈S"
の反例ですよね。
それでS:={(a_n)∈A^{アレフ_0}; lim_{n→∞}a_n=0:=s_0},f(s,x):=exp(1/s)と採ると,
∀(a_n)∈Sに対して,lim_{n→∞}f(a_n,x)=lim_{n→∞}exp(1/a_n)=∞ですが
Picardの定理
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/picard_s_theorem__00.jpg
をどのように用いると, lim_{s→s_0}f(s,x)∈Cが言えるのでしょうか?

>> そうでした。証明すべき事は
>> lim_{n→∞}f(a_n,x)=∞なる任意の(a_n)∈Sに対して"一般には"
>> lim_{s→s_0}f(x,s)≠∞である事を示すのでした。
>> つまり,反例を挙げる事です。
> 無駄なことは止めた方が良い, と申し上げています.

これは失礼致しました。

>>> (d/dt) の意味が分かっていますか.
>> 導関数を求めるという意味ですよね。
>> あっと,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100067__00.jpg
>> と書かねば意味がありませんでしたね。
> いや, 分かっているのであれば, 元のままでも良いのですが,
> この後で使えていないので.

そうでした。有難うございます。

>>> 有限増分不等式では s と s + h を結ぶ線分を考えるのです.
>> 閉区間ではなく線分なら,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100067__01.jpg
>> と書き換えてもいいのでしょうか?
> x \in [0, 1], y = 1 - x となるだけですから, 構いません.

了解です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__04.pdf
>> と取りあえずなったのですが
>> 2ページ目末行ではどのようにfを場合分けするのでしょうか?
> 「場合分け」というのは意味不明です.
> ともあれ,

すいません。ちょっと混乱した勘違いでした。

>> あと,同じく2ページ目の下から2行目にて
>> f(x,s)/hがA×BでC^1級である事を言わねば成らないのですが,
>> どうすれば言えますでしょうか?
> それは f によって成立したりしなかったりするわけですから,
> 予め「仮定」しなければなりません. というわけで,
> 何の仮定もなしに
>  (d/ds)F(s) = \int_A { \partial f \over \partial s }(x, s) dx
> が成立するわけではないので, Prop197.10007 は誤りです.
> C^1 級の仮定があっても B が有界閉集合でなければ
> 一般には駄目です.

有難うございます。取り敢えず下記のように訂正致しましたが
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__10.pdf
Prop192.100067を適用するには6ページの最後から4行目から最後から3行目にかけて,どうしてもs+hとsとの差しかとりようがなくなってしまいます。
然し, f(x,s)/hはhについてC^1級関数かは不明ですよね。一体,どのようにProp192.100067を当て嵌めればいいのでしょうか?

更に,Prop10007(ii)は何もせずにほうって置きましたが,キチンと書き開くと,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__10.pdf
の6ページの上から3行目のようになり,
∫_B F(s)dμや∫B f(x,s)dμはもはや複素面積分(又は複素Lebesgue積分(?))になっています(∵積分範囲Bが線ではない為)。
それで夫々,
∫_{(Re(F(s)∈)Re(F(B)}ReF(s)dμ+i∫_{(Im(F(s)∈)Im(F(B)}ImF(s)dμや
∫_{(Re(f(x,s)∈)Re(f(x,B)}Ref(x,s)dμ+i∫_{(Im(f(x,s)∈)Im(f(x,B)}Imf(x,s)dμ
と定義したのですがこれで大丈夫でしょうか?

>> 更に,2ページ目の[1.2]にて,Re(∂/∂s f(A,s))と書いてしまいました。
>> このようなReの使い方はNGですよね。
>> どのように書き換えればいいのでしょうか?
> だから, 「実部も虚部も可測関数」と書けば良いだけのことです.

相変わらず,複素数でのLebesgue積分が分からないのですが
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_plane_integral__00.pdf
という具合に最後に実数のLebesgu積分の定義から複素数のLebesgue積分の定義をしたのですがこれでいいのでしょうか?

>>> それと, s \neq 0 を一つ固定した時の x の関数,
>>> f(s, x) = x - 1/s + 1  (1/s - 1 \leq x \leq 1/s),
>>> f(s, x) = 1/s - x + 1  (1/s \leq x \leq 1/s + 1),
>>> f(s, x) = 0  (otherwise), のグラフと,
>>> 何の関係があるのですか.
>> 一応,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/figure__20.jpg
>> となりました。
> f(s, 1/s) は, 上の式で計算しても 1/s - 1/s + 1 = 1,
> 下の式で計算しても 1/s - 1/s + 1 = 1 です.
> この f(s, x) は f(s, x) \geq 0 の関数です.
> 何処かで負になるような図を書いているようでは駄目です.

失礼致しました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/counter_example_of_prop192_10007__01.jpg
と訂正致しました。これなら如何でしょうか?