工繊大の塚本です.

基本的に１月８日の記事で

> 『空でない閉集合A,BがA∩B=φで少なくとも片方が有界の時, 
> inf{|x-y|∈R;x∈A,y∈B}>0である』 
> を示せばいいのではないでしょうか? 

それで良いことは示唆しました.
先の記事での証明で良いと思いますが,

2016年2月25日木曜日 9時04分15秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> 下記のように証明してみました。これでいかがでしょうか?
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/root_conti.jpg

こちらの証明で使っている "Disc[0, \epsilon)" というのは開円板では
ありませんでしたか. それでは B' が閉集合にならず, コンパクトとは
言えません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/root_conti0.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/root_conti1.jpg

距離が正であることが分かれば, 後は簡単なことだから良いでしょう.
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塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp