ご回答誠に有難うございます。


>> ここでの中心とは(x_0,ζ_{12})と(x_0,ζ_{23})の事ですね。
>> 確かに,有限被覆開球{Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j});
>> ζ_j∈C(y_i,ε)}_{j∈{1.2,…,l}}
:
> = \sqrt{(155 + 12 \sqrt{15})/18} - 10/3
> < 0.013
> ですので, 反例が存在することが分かります.

なるほど。そういう反例があるとは気づきませんでした。


>> もっとシンプルに
>> Σ':={Ball[(x_0,ζ),ε/2}_{ζ∈C(y_i,ε)}という風に
>> {x_0}×C(y_i,ε)の無限開被覆の半径をε/2に固定して,
> y_i を中心とする円を考えるときの \epsilon を用いて,
> 無限開被覆の半径を \epsilon/2 とすることはできません.
> 別の \tau > 0 でしょうか.

そうでした。書きミスでした。失礼致しました。


>> ∃{Ball[(x_0,ζ_j),ε/2);ζ_j∈C(y_i,ε)}_{j∈{1.2,…,l}を
>> その有限開被覆にしてやればどうでしょうか?
> そのように半径を固定して無限開被覆を取れることを示すのが,
> { (x, y) | f(x, y) = 0 } という閉集合と
> {x_0} \times C(y_i, \epsilon) というコンパクト集合との
> 間の距離が 0 より大きいことを示す話になります.

ちょっと考えてみます。


>> えー!? 一体どんな反例があるのでしょうか?
> 折角だから反例を挙げましたが,
> 先ず, どのような半径 \tau を取るのかを示した上で,
> その半径であれば成立することを「証明」するのが筋です.
> 貴方が述べているのは単に希望でしかありません.
>> 上記のΣ'の場合でも駄目でしょうか?
> そういう無限被覆が取れるところから証明を始めて下さい.

これもちょっと考えてみます。


>>> 有り得ません.
>> もしこのようなケースがあった場合の矛盾がどうしても出て来ません。
>> どんな矛盾が発生するのでしょうか?
> 有り得ないことが分からないのですか.
> 解の個数が矛盾します.

そうでした。今,μ_i:=#{y∈Disc[y_i,ε);f(Disc[x_0,δ)×{y})∋0}で,
μ_1+μ_2+…+μ_r=nが成り立ってますが(∵代数学の基本定理),
どんな小さなδに対しても
∃i∈{1,2,…,r};μ'_i:=#{y∈C;f(Disc[x_0,δ)×{y})∋0}>μ_iなら,
μ_1+…+μ_{i-1}+μ'_i+μ_{i+1}+…+μ_r>n
となり代数学の基本定理に反しますね。

よって
「どんなにδを小さくとっても,
0∈f(Disc(x_0,δ)×Disc[y_i,ε]^c)且つ,
0 \not ∈ f({x_0}×Disc[y_i,ε]^c)
:
といったケースが考えられるのではないでしょうか?」…(ニ)
は起こり得ないのですね。


それで,もうもう一度証明しなおすと
f(x,y):=y^m+b_{m-1}(x)y^{m-1}+…+b_0(x) (但し,b_{m-1}(x),…,b_0(x)はx_0の近傍nbhd[x_0,δ_0)で連続な関数)の時,
0<∀ε<ε_0に対して,0<∃δ<δ_0;0 \not∈f(Disc[x_0,δ),C(y_i,ε))…(ハ)。
を示すのでした。

「今, 0 \not∈f({x_0}×C(y_i,ε))だから,∃δ>0;0 
\not∈f(Disc[x_0,δ)×C(y_i,ε))
(∵fは開集合nbhd[x_0,δ_0)×Cでの連続関数なのでもし,∀δ>0に対して0∈f(Disc[x_0,δ)×C(y_i,ε))ならfの連続性に反する)」
では短絡すぎでしょうか?

また過去記事の証明を訂正して,

「まず,f^-1(0)は閉集合(∵{0}は閉集合でfは連続関数)だから,
{Ball[(x_0,ζ),ρ}_{ζ∈C(y_i,ε)}を∪_{ζ∈C(y_i,ε)}Ball[(x_0,ζ),ρ}∩f^-1(0)=φという半径がρの開球からなるコンパクト集合{x_0}×C(y_i,ε)への開被覆とすると
(∵ρとして,f^-1(0)と{x_0}×C(y_i,ε)とは互いに素な有限閉集合なので,m:=∃min{dist(z,w)∈R^+;z∈f^-1(0),w∈{x_0}×C(y_i,ε)}. 

故にρ:=m/2とでも採ればよい),
∃{Ball[(x_0,ζ_j),ρ);ζ_j∈C(y_i,ε)}_{j∈{1.2,…,l} such that
{x_0}×C(y_i,ε)⊂∪_{j=1..l}Ball[(x_0,ζ_j),ρ)が採れる(∵コンパクトの定義)。 

Ball[(x_0,ζ_j),ρ)とBall[(x_0,ζ_{j+1}),ρ)との交円γ_jj+1の中心をO_jj+1とし,γ_jj+1の円内部とC(y_i,ε)との交点,それをp_jj+1として,
d:=min{|O_jj+1-p_jj+1|∈R^+;j=1,2,…,l}と書く事にすればBall[(x_0,ζ),d)は中心がC(y_i,ε)に沿って動き,0 \not∈f({x_0}×∪_{ζ∈C(y_i,ε)}Ball[(x_0,ζ),d))が言えまし 
た。
同様にして,ζ_0∈C(y_i,ε)に於いて∃d'>0;0\not∈f(Disc[x_0,d')×{ζ_0})
(∵f(x_0,ζ_0)≠0でfは開集合nbhd[x_0,δ_0)×Cでの連続関数)。
よって,δ:=min{d,d'}と採れば,0\not∈f(Disc[x_0,δ)×Disc[ζ_0,δ))…(ホ)となる。 

この事から,{y∈Disc[y_i,ε);h(x_0,y)=0}⊂Disc[y_i,ε)…(ヘ)で(∵??)。
よって,{y∈C;h(x_0,y)=0}⊂Disc[y_i,ε) (∵ケース(ニ)は起こりえない事から). 
(終り)」

という具合でいいのだろうと察します。

でもいまいちピンと来ません。どうして,(ホ)から(ヘ)が言えるのでしょうか?
(ホ)の有り難味が分かりません。
どうして(x_0,ζ_0)の近傍で0\not∈なら(ヘ)となるのでしょうか? 


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