ご回答誠に有難うございます。


とりあえず,
「For 0<∀ε<ε_0,0<∃δ<δ_0;f(Disc[x_0,δ),C(y_i,ε))は0を含まない」…(イ)
を示さねばならないのですよね。これについては
f(x,y):=(1/a_m(x))h(x,y)=y^m+b_{m-1}(x)y^{m-1}+…+b_1(x)y+b_0(x)と表す事にすれば,
もし,0∈f(Disc[x_0,δ),C(y_i,ε)) for 0<∀δ<δ_0 なら,∃(t,s)∈Disc[x_0,δ)×C(y_i,ε);f(t,s)=0. 

その時,t≠x_0なら,{t}=∩[0<δ<δ_0]Disc(x_0,δ)=φとなり矛盾。
t=x_0ならf(x_0,s)=0であり,今{y_1,y_2,…,y_r}∩C(y_i,ε)=φなので,
{y_1,y_2,…,y_r}は{y∈C;f(x_0,y)=0}の真部分集合となり,矛盾。
よって(イ)のようなδが必ず採れる。
という証明では駄目でしょうか?


>> が言えないのでしょうか? 線分の必要性がいまいち分かりません。
> D を x_0 中心, 半径 \delta の円板とするとき,
> F(\xi, u) が D \times [0, L] 上の連続関数であるとき,
> \int_0^L F(\xi, u) du が D 上の連続関数であることを示せば,
> それでも構いません.
> 証明をされてみると良いと思います.

ちょっと考えてみたいと思います。 


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