ご回答誠に有難うございます。

>> a_m(x) y^m + a_{m-1}(x) y^{m-1} + … + a_1(x) y + a_0(x)=0で,
>> yはx=x_0にて連続である事を示そうとしております。
> で, 「 y は x = x_0 にて連続」の定義は何ですか.

For∀ε>0,∃δ>0;|x-x_0|<δ⇒
{|y_0-y|∈R;y∈{y∈C;a_m(x)y^m+a_{m-1}(x)y^{m-1}+ … 
+a_1(x)y+a_0(x)=0},y_0∈{y∈C;a_m(x_0)y^m+a_{m-1}(x_0)y^{m-1}+ … 
+a_1(x_0)y+a_0(x_0)=0}}⊂[0,ε)
だと思います。