ご回答誠に有難うございます。

>> それで,δの存在はどのように示せるのでしょうか?
> Rouch\'e の定理というか, それの元の偏角の原理を使います.
> a_m(x_0) \neq 0 としましたから,
> \exsists \delta_0 > 0,
:
> |x - x_0| < \delta ならば C(y_i, \epsilon) 上で |f_x(y)| > 0
> となるように決めれば良い.

これを先ず示さねばならないのですね。
これから0<∀ε<0;0<∃δ;∪_{|x-x_0|<δ<δ_0}{y∈C;h(x,y)/a_m(x)=0}⊂∪_{k=1..r}Disc[y_k,ε)…(*). 

を導くのですね。

> このとき, |x_1 - x_0| < \delta であれば,
> x_t = t x_1 + (1-t) x_0  (t \in [0, 1]) についても
> |x_t - x_0| < \delta ですから,
> C(y_i, \epsilon) 上で |f_{x_t}(y)| > 0 になっています.
> C(y_i, \epsilon) の内部にある f_{x_t}(y) = 0 の解の個数は
> (1/(2 \pi i)) \int_{C(y_i, \epsilon)} { f'_{x_t}(y) \over f_{x_t}(y) } dy
> で与えられますが,
> この値は, t について連続に変化する整数ですから, 不変です.

x_tはtに関して連続である事は分かりますが,
(1/(2πi))∮_{C(y_i,ε)}(d/dy f_{x_t}(y))/f_{x_t}(y) dy
がtに関して連続である事はどうして分かるのでしょうか?

> 従って, y_i が f_{x_0}(y) = 0 の m_i 重解であれば,
> f_{x_1}(y) = 0 の解で C(y_i, \epsilon) の内部にあるものの重複度込みの個数も 
> 
> m_i であることが分かります.

よって,∀x_t∈\overline{x_0x_1}(←線分x_0x_1の意味)に対して,
(1/(2πi))∮_{C(y_i,ε)}(d/dy f_{x_t}(y))/f_{x_t}(y) dy が一定の自然数値…(**)(∵偏角の原理)
つまり,
∀x_1∈Disc(x_0,δ) (←punctured open discの意味)に対して,(**)が言えるので,
∪_{|x_1-x_0|<δ<δ_0}{y∈C;h(x_1,y)/a_m(x)=0}⊂∪_{k=1..r}Disc[y_k,ε),つまり(*)が言えた事になるのですね。 


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