ご回答誠に有難うございます。


>> はい,左様です。ユークリッド距離です。
> それは良い選択であるとは思いませんが,

何故でしょうか?


>> 「∪_{j=1..l}Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j})は{x_0}×C(y_i,ε)の有限開被覆で,
>> 然も連結ですよね。
>> この時,min{ρ_{ζ_j};j=1.2,…l}よりも十分小さいτ_iを採れば,」
>> と訂正致します。
>> それでどのようにτ_iを採るかというと,
>> γ_12:=Ball[(x_0,ζ_1),ρ_{ζ_1})∩Ball[(x_0,ζ_2),ρ_{ζ_2})≠φの時,
>> その交面(円)の半径をτ'_12と書く事にすれば
> \gamma_{12}
>  = { (x, \eta) | |x - x_0|^2 + |\eta - \zeta_1|^2 < \rho_{\zeta_1}^2,
>                  |x - x_0|^2 + |\eta - \zeta_2|^2 < \rho_{\zeta_2}^2 }
> でありますが, その交面とは
> { (x, \eta) | |x - x_0|^2 + |\eta - \zeta_1|^2 = \rho_{\zeta_1}^2,
>               |x - x_0|^2 + |\eta - \zeta_2|^2 = \rho_{\zeta_2}^2 }
> のことでしょうか.

はい,左様です。


> r_1 = \rho_{\zeta_1}, r_2 = \rho_{\zeta_2} とし,
> r_1 \leq r_2 のとき,
> \zeta_1 と \zeta_2 とを結ぶ直線上の点 \zeta_{12} を
> \zeta_{12} = ((1 + (r_2^2 - r_1^2)/|\zeta_2 - \zeta_1|^2)/2) \zeta_1
>              + ((1 - (r_2^2 - r_1^2)/|\zeta_2 - \zeta_1|^2)/2) \zeta_2
> とすれば,
> その交面は,
> \eta - \zeta_{12} が \zeta_2 - \zeta_1 の純虚数倍になるという
> (実3次元の)面内の
> |x - x_0|^2 + |\eta - \zeta_{12}|^2
>  = (r_1^2 + r_2^2)/2
>     - |\zeta_2 - \zeta_1|^2 - (r_2^2 - r_1^2)^2/|\zeta_2 - \zeta_1|^2
>  = \tau_{12}^2
> を満たす点の全体で, (2次元の)球になりますが,

はい。


>> γ_12,γ_23,…,γ_l-1l,γ_l1のl個の交面があり,
>> τ_i:=min{τ'_12,τ'_23,…,τ'_l-1l,τ'_l1}と採ればよいと思います。
>> 因みに,(x_0,ζ_1)と(x_0,ζ_2)とγ_12上の点Pとを結んだ三角形
>> (他の二辺の長さはρ_{ζ_1}とρ_{ζ_2})の面積をS_12とすると,
>> τ'_12:=2S_12/dist((x_0,ζ_1),(x_0,ζ_2))と書けます。
> 球の中心の y 成分は \zeta_1 と \zeta_2 とを結ぶ直線上にあり,

交面の中心ですね。


> C(y_i, \epsilon) 上の点 \zeta は当然その直線からは外れますから,
> \zeta が円上 \zeta_1 と \zeta_2 の間にある場合においても
> (x_0, \zeta) を中心とする半径 \tau_{12} の Ball が
> Ball((x_0, \zeta_1), r_1) および Ball((x_0, \zeta_2), r_2) で
> 覆われる保証はありません.

なるほど。
γ_jj+1の中心をO_jj+1とすると,もしγ_jj+1の円内部とC(y_i,ε)との交点,それをp_jj+1とすると,
τ'_jj+1:=|O_jj+1-p_jj+1|, j=1,2,…,lと採ればいいのではないでしょうか?
つまり,τ'_jj+1をBall[(x_0,ζ),τ_i)を潜れるよう前記事のよりもっと小さく採るという考えです。


> ということでその議論は十分ではありません.
> どうせ無限被覆からコンパクト性を用いて有限被覆を選び出すような
> ことをしているのですから,
> 存在証明を行う方が賢明であろうと思います.

えっ? 存在証明とはどのようなものでしょうか? 


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