ご回答誠に有難うございます。


>> Ball[(x_0,ζ),ρ_ζ):={w∈C^2;dist((x_0,ζ),w)<ρ_ζ}という
>> 半径ρ_ζの(x_0,ζ)を中心とするunpuncturedな開球の内部を表してます。
> C^2 の距離はどう入れているのでしょうか.
> Ball((x_0, \zeta), \rho_\zeta)
> = { (x, \eta) | |x - x_0|^2 + |\zeta - \eta|^2 < (\rho_\zeta)^2 }
> でしょうか.

はい,左様です。ユークリッド距離です。


>> ∪_{j=1..l}Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j})は{x_0}×C(y_i,ε)の有限開被覆で,
>> 然も連結ですよね。
>> この時,min{ρ_j;j=1.2,…l}よりも十分小さいρ_iを採れば,
> どう取るのですか.
> なお, \rho_i という表記は \rho_1, \rho_2, \dots, \rho_l の
> どれかとも理解されますから, 好ましいものとは思いません.

失礼致しました。
「∪_{j=1..l}Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j})は{x_0}×C(y_i,ε)の有限開被覆で,
然も連結ですよね。
この時,min{ρ_{ζ_j};j=1.2,…l}よりも十分小さいτ_iを採れば,」
と訂正致します。

それでどのようにτ_iを採るかというと,
γ_12:=Ball[(x_0,ζ_1),ρ_{ζ_1})∩Ball[(x_0,ζ_2),ρ_{ζ_2})≠φの時,その交面(円)の半径をτ'_12と書く事にすれば
γ_12,γ_23,…,γ_l-1l,γ_l1のl個の交面があり,τ_i:=min{τ'_12,τ'_23,…,τ'_l-1l,τ 
 '_l1}と採ればよいと思います。
因みに,(x_0,ζ_1)と(x_0,ζ_2)とγ_12上の点Pとを結んだ三角形(他の二辺の長さはρ_{ζ_1}とρ_{ζ_2})の面積をS_12とすると,
τ'_12:=2S_12/dist((x_0,ζ_1),(x_0,ζ_2))と書けます。


>> ∪_{j=1..l}Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j})内を{x_0}×C(y_i,ε)に
>> 中心(x_0,ζ)が沿って潜れる
>> {x_0}×C(y_i,ε)の無限開被覆{Ball[(x_0,ζ),ρ_i)}_{ζ∈C(y_i,ε)}が
>> 採れると思いました。
> 思っただけでは証明されたとはいえません.

上記の無限開被覆は{Ball[(x_0,ζ),τ_i)}_{ζ∈C(y_i,ε)}と書けます。


>> #{y∈Isd(C(y_i,ε));f(x,y)=0}
> 今気付きましたが, Isd は Inside のつもりでしょうか.
> そんな略号を説明なしに使っては誰にも理解されませんよ.

これは大変失礼いたしました。仰る通り内部の意味です。 


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