工繊大の塚本です.

2016年1月5日火曜日 9時52分27秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> Ball[(x_0,ζ),ρ_ζ):={w∈C^2;dist((x_0,ζ),w)<ρ_ζ}という
> 半径ρ_ζの(x_0,ζ)を中心とするunpuncturedな開球の内部を表してます。

 C^2 の距離はどう入れているのでしょうか.
 Ball((x_0, \zeta), \rho_\zeta)
 = { (x, \eta) | |x - x_0|^2 + |\zeta - \eta|^2 < (\rho_\zeta)^2 }
でしょうか.

> ∪_{j=1..l}Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j})は{x_0}×C(y_i,ε)の有限開被覆で,
> 然も連結ですよね。
> この時,min{ρ_j;j=1.2,…l}よりも十分小さいρ_iを採れば,

どう取るのですか.
なお, \rho_i という表記は \rho_1, \rho_2, \dots, \rho_l の
どれかとも理解されますから, 好ましいものとは思いません.

> ∪_{j=1..l}Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j})内を{x_0}×C(y_i,ε)に
> 中心(x_0,ζ)が沿って潜れる
> {x_0}×C(y_i,ε)の無限開被覆{Ball[(x_0,ζ),ρ_i)}_{ζ∈C(y_i,ε)}が
> 採れると思いました。

思っただけでは証明されたとはいえません.

> 「∀x∈proj_{1}G_i:={x∈C;(x,y)∈G_i}に対して,

>>> G_i:=∪_{ζ∈C(y_i,ε)}Ball[(x_0,ζ),ρ_i)

に対して, proj_1 G_i = { x | |x - x_0| < \rho_i }
ではありませんか. Disc とかを使っていませんでしたか.

> #{y∈Isd(C(y_i,ε));f(x,y)=0}

今気付きましたが, Isd は Inside のつもりでしょうか.
そんな略号を説明なしに使っては誰にも理解されませんよ.

もう少し丁寧な議論が必要でしょう.
-- 
塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp