ご回答誠に有難うございます。


>> そうでしたね。d_{12}:=|O_{12} - p_{12}|と置いて,
>> τ''_{12}:=min{d_{12},τ'_{12}-d_{12}}とすれば良かったのでした。
> 偶々２つの中心の中点に O_{12} が来ているからそうであるだけです.

ここでの中心とは(x_0,ζ_{12})と(x_0,ζ_{23})の事ですね。
確かに,有限被覆開球{Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j});ζ_j∈C(y_i,ε)}_{j∈{1.2,…,l}}:=Σの半径ρ_{ζ_1}とρ_{ζ_2}が異なる場合はO_{12}は両中心の中点には来ませんね。
その場合はτ''_{12}:=min{d_{12},τ'_{12}-d_{12}}を半径とする中心が{x_0}×C(y_i,ε)上を動く球は常にΣに含まれると思うのですが。。
どんな反例がありますでしょうか?

もしかして,ρ_{ζ_1}≦ρ_{ζ_2}でBall[(x_0,ζ_1),ρ_{ζ_1})⊂Ball[(x_0,ζ_2),ρ_{ζ_2})となるようなケースを考えておられるのでしょうか?
もしそうでしたら,Σの条件として
∀j_0∈{1,2,…,l}に対して,
Ball[(x_0,ζ_{j_0}),ρ_{ζ_{j_0}}) \not⊂ 
∪_{j∈{1,2,…,l}\setminus{j_0}}Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j});ζ_j∈C(y_i,ε)である事を仮定しておけばいいですよね。


もっとシンプルに
Σ':={Ball[(x_0,ζ),ε/2}_{ζ∈C(y_i,ε)}という風に{x_0}×C(y_i,ε)の無限開被覆の半径をε/2に固定して,∃{Ball[(x_0,ζ_j),ε/2);ζ_j∈C(y_i,ε)}_{j∈{1.2,…,l}をその有限開被覆にしてやればどうでしょうか? その時,O_{j,j+1}は常に両隣の2つの 
中心の中点に来ますよね。いかがでしょうか?


>> これでは上手くいきますでしょうか?
> どのような場合でも「上手くいく」ことを示すのが証明です.
> 貴方の取り方では一般には駄目でしょう.

えー!? 一体どんな反例があるのでしょうか?


>> > dist(z, w) \geq \delta > 0 を示すのです.
>> 上述に於いてδ:=min{τ''_{j,j+1};j=1,2,…,l-1}と採ればいいのですよね。
> 駄目でしょう.

上記のΣ'の場合でも駄目でしょうか?


>> そして,
>> F_i(x)=#{y∈Disc[y_i,ε);f(x,y)=0}∈Nなので,xがU_x内を動いても重複度は不変。 
>> 
>> 故に,∀x∈Disc[x_0,δ)に対して,
>> {y∈Disc[y_i,ε);f(x,y)=0}⊂∪_{k=1..r}Disc[y_k,ε) (但し,i∈{1,2,…,r})
>> は成り立ちますが,
>> 目標は∀x∈Disc[x_0,δ)に対して,{y∈C;f(x,y)=0}⊂∪_{k=1..r}Disc[y_k,ε)ですよね。
>> これはどうすれば言えるのでしょうか?
> 自明です. y の多項式としての次数は不変ですから,
> 各 x に対して f(x, y) = 0 の解の個数は
> C(y_i, \epsilon) の内部にあるものの総和になります.

了解です。


>> どんなにδを小さくとっても,
>> 0∈f(Disc(x_0,δ)×Disc[y_i,ε]^c)且つ,
>> 0 \not ∈ f({x_0}×Disc[y_i,ε]^c)
>> (但し,Disc(x_0,δ)は中心x_0,半径δのpuncturedな開円盤,
>> Disc[y_i,ε]は中心y_i,半径εの閉円盤)
>> といったケースが考えられるのではないでしょうか?
> 有り得ません.

もしこのようなケースがあった場合の矛盾がどうしても出て来ません。どんな矛盾が発生するのでしょうか? 


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