工繊大の塚本です.

2016年2月9日火曜日 8時54分13秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> もし,τ_j:=inf{|s-w|∈R;s∈{x_0}×γ_j,w∈{x_0}×C(y_i,ε)}=0…(サ)だとすると,
> 0<∀k∈Nに対して,
> d(1/k):={(s,w)∈({x_0}×γ_j)×({x_0}×C(y_i,ε)):=E;|s-w|≦1/k}とすると, 
> d(1/k)≠φ…(シ)(∵もし,=φなら(サ)に矛盾)。
> そしてd(1/k)は減少関数,つまり,k>k+1⇒d(k)⊃d(k+1)…(ス)と分かる。

関数ではなくて集合族ですね.

> この時,∃(s_0,w_0)∈E;∩_{k∈N}d(1/k)={(s_0,w_0)}ですね(∵区間縮小法の原理)で 
> 
> |s_0-w_0|=0となっている
> (∵もし≠0なら,∃k_0∈N;1/(k_0-1)≧|s_0-w_0|>1/k_0>0であり,
> d(1/k_0)=φとなり,(シ)に矛盾)。
> 即ち,s_0=w_0で{x_0}×C(y_i,ε)がγ_jと交点を持つ事になるが
> 交点を持つなら,γ_jは"開"球同士の交円ですから,
> {x_0}×C(y_i,ε)をもはや覆っていない事になり
> γ_jが{x_0}×C(y_i,ε)の開被覆の一つになっている事に矛盾)。

 \gamma_j は開球 B((x_0, \zeta_j), \rho_{\zeta_j}) と
 B((x_0, \zeta_{j+1}), \rho_{\zeta_{j+1}}) の境界の交線でしたか.
その上に w_0 があれば, B((x_0, \zeta_j), \rho_{\zeta_j}}) と
 B((x_0, \zeta_{j+1}), \rho_{\zeta_{j+1}}) では覆われていませんが,
他の B((x_0, \zeta_k), \rho_{\zeta_k}) で覆われているのかも
知れませんから, それだけでは矛盾とはいえません.

> よって(サ)は有り得ない。∴τ_j>0 (終)。
> 
> ではいかがでしょうか?

詰めが甘いようです.

> Γは{Ball[(x_0,ζ),ρ_ζ)}_{ζ∈C(y_i,ε)}の事でしたね。

そういう開集合の族ですね.

> 下記のように訂正させて頂きます。
> 
> 『もし,≠φならば,今∪_{ζ∈C(y_i,ε)}Ball[(x_0,ζ),τ)⊂∪_{B∈Γ}Bなので

 B((x_0, \zeta), \rho_\zeta) が \Gamma の元ですが,
 B((x_0, \zeta), \tau) は \tau < \rho_\zeta でなければ,
 B((x_0, \zeta), \tau) \subset B((x_0, \zeta), \rho_\zeta) とは
なりませんから,
 B((x_0, \zeta), \tau) \subset \cup_{B \in \Gamma} B であるかどうか,
直ぐには分かりません.

> (∪_{B∈Γ}B)∩f^-1(0)^c≠φとなり,
> f^-1(0)^cが開集合である事に矛盾する。よって=φでなければならない。
>  これでは如何でしょうか?』 

不十分だと思います.
-- 
塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp