ご回答誠に有難うございます。

>> これについてはF_i(x):=#{y∈Disc[y_i,ε);f(x,y)=0}∈Nはx=x_0で連続ですよね。 
>> 
> それも証明すべき内容であった筈です.

これについては,今,g(x,y)がxについて連続ならG(x)=∫_[a..b]g(x,y)dyもxについて連続である事を示せばいいのですよね。
G(x)がx=x_0∈[a,b]で連続である事を示します。
今,0<∀εに対して0<∃δ;|x-x_0|<δ⇒|g(x,y)-g(x_0,y)|<εが言えてるので,
|G(x)-G(x_0)|=|∫_[a..b]g(x,y)-g(x_0,y)dy|
≦∫_[a..b]|g(x,y)-g(x_0,y)|dy
≦|∫_[a..b]ε
=ε(b-a)となるので,Gはx=x_0で連続となります。

> 因みに, 個数を解の重複度を無視して勘定すると,
> そのことは成立しません.

解の重複度も考慮するのでした。
偏角の原理を利用してるのですからね。


>> なので十分小さなδ>0を採れば,x∈Disc[x_0,δ)に対して,
>> q:=F_i(x)=F_i(x_0)は定数です。
> 貴方はそれを未だ証明していません.

上の通りです。


>> しかし,このδをどんなに小さく採っても,x∈Disc(x_0,δ)に対し,
>> q<#{y∈C;f(x,y)=0}となる,つまり,0∈f(Disc(x_0,δ)×(Disc[y_i,ε)^c))となるなら,
>> これは(二)に相当して矛盾となるのではないでしょうか?
> いずれにせよ, 疑問文では証明になりませんよ.

失礼致しました。


>> 故に,∃δ>0;0 \not∈f(Disc[x_0,δ)×C(y_i,ε))が言え,
>> #{y∈C;f(Disc[x_0,δ)×{y})∋0}=q,
>> つまり,{y∈C;f(Disc[x_0,δ)×{y})∋0}⊂Disc[y_i,ε).
>> でいいのでしょうか?
> 駄目でしょう.

上述の証明でも駄目でしょうか?


>> > # C(y_i, \epsilon) のコンパクト性を用いることになります.
>> 先ず,f^-1(0)と{x_0}×C(y_i,ε)が正の距離である事
>> (ι:=inf{|(x,y)-(x_0,ζ)|∈R;(x,y)∈f^-1(0),ζ∈C(y_i,ε)}>0となる事)
>> を示さねばならないのですよね。
>> もし,ι=0ならf^-1(0)と{x_0}×C(y_i,ε)とも閉集合であるから
>> ∀δ>0に対し∃(x',y')∈f^-1(0),∃ζ∈C(y_i,ε);|(x',y')-(x_0,ζ)|<δ…(カ)であり, 
>> 
>> もし,(x',y')∈Int(f^-1(0))か(x_0,ζ)∈Int({x_0}×C(y_i,ε))
>> (但し,Int( )は内核を表す記号)なら
>> (カ)より,f^-1(0)∩{x_0}×C(y_i,ε)≠φとなり,
> なりません.
> R^2 において,
> y \geq 1/x, x > 0 という集合は閉集合であり,
> y \leq 0 という集合も閉集合ですが,
> 任意の正の数 \delta に対して,
> それぞれの内点の組で, 距離が \delta 未満のものが存在します.

これは双方とも非有界ではないですか。
{x_0}×C(y_i,ε)は有界ですよね。
少なくとも片方が有界の場合はinf=0となるケースはありませんよね。


>> 互いに素である事に矛盾。
> 従って矛盾が出るのは議論が間違っています.

少なくとも片方が有界の場合ではいかがでしょうか?


>> もし,(x',y')がf^-1(0)の境界点且つ(x_0,ζ)が{x_0}×C(y_i,ε)の境界点なら,(カ)から
>> (x_0,ζ)∈Ball[(x',y'),δ),(x',y')∈Ball[(x_0,ζ),δ) for∀δ>0となっており,
>> (x',y'),(x_0,ζ)∈Ball[(x',y'),δ)∩Ball[(x_0,ζ),δ)(←開集合).
>> その時,B:=∩_{δ>0}Ball[(x',y'),δ)∩Ball[(x_0,ζ),δ)={(x',y'),(x_0,ζ)}…(キ) 
>> 
>> と書け,
>> 一方.,B=
>> ∩_{δ>0}Ball[(x',y'),δ)∩∩_{δ>0}Ball[(x_0,ζ),δ)={(x',y')}∩{(x_0,ζ)}…(ク)
>> 
>>  ですから(キ),(ク)より,(x',y')=(x_0,ζ)でなければならず,
>> これもf^-1(0)と{x_0}×C(y_i,ε)とが互いに素である事に矛盾。
> 既に駄目ですが,
> R^2 において,
> y = 1/x, x > 0 という閉集合と
> y = 0 という閉集合
> の間の距離はどうなるでしょう.

片方が有界なら正とならないと既述した通り矛盾が発生すると思います。


>> コンパクト性を使っての証明については
> そう, コンパクト性が必要です.
>> f^-1(0)^c⊃{x_0}×C(y_i,ε)はコンパクトでf^-1(0)^cは開集合であるから,
>> {x_0}×C(y_i,ε)の任意の点(x_0,ζ)はf^-1(0)^cの内点になっている。
>> よって,∃ρ_ζ>0;Ball[(x_0,ζ),ρ_ζ) \subsetneq f^-1(0)^c
>> for∀ζ∈C(y_i,ε)が言え,
>> Γ:={Ball[(x_0,ζ),ρ_ζ)}_{ζ∈C(y_i,ε)}はf^-1(0)には触れない
>> {x_0}×C(y_i,ε)の無限開被覆となっている。
>> この開被覆から,有限個を選んで(Γ∋)Ball[(x_0,ζ_j),ρ_ζ_j),j=1,2,…,lで
>> {x_0}×C(y_i,ε)を覆えますね(∵コンパクトの定義)。
> ここまでは良いけれども,

了解です。


>> この時,Ball[(x_0,ζ_j),ρ_{ζ_j})とBall[(x_0,ζ_{j+1}),ρ_{ζ_{j+1}})の交円を
>> γ_jとすると,(j=1,2,…,l-1,j=lの時はj+1:=1とする)
>> τ_j:=min{|s-ζ|∈R;s∈γ_j,ζ∈C(y_i,ε)}(>0)とし,
> \tau_j > 0 の証明を与える必要がありますね.

正確にはτ_j:=min{|s-w|∈R;s∈{x_0}×γ_j,w∈{x_0}×C(y_i,ε)}と書いた方が良かったかもしれません。
τ_j>0については,
{x_0}×C(y_i,ε)はγ_jの内部を通る事に依ります(∵もしτ_i=0,つまり{x_0}×C(y_i,ε)がγ_jと交点を持つならばγ_jは"開"球同士の後縁ですから,{x_0}×C(y_i,ε)をもはや覆っていない事になり矛盾)。

これで如何でしょうか?

>> τ:=min{τ_1,τ_2,…,τ_l}と採れば
>> ∪_{ζ∈C(y_i,ε)}Ball[(x_0,ζ),τ)∩f^-1(0)=φとなりますよね。
> それも証明を与える必要がありますね.

もし,≠φならば,今∪_{ζ∈C(y_i,ε)}Ball[(x_0,ζ),τ)⊂ΓなのでΓ∩f^-1(0)^c≠φとなり,
f^-1(0)^cが開集合である事に矛盾する。よって=φでなければならない。

これでは如何でしょうか?