ご回答誠に有難うございます。


>> もし,τ_j:=inf{|s-w|∈R;s∈{x_0}×γ_j,w∈{x_0}×C(y_i,ε)}=0…(サ)だとすると,
>> 0<∀k∈Nに対して,
>> d(1/k):={(s,w)∈({x_0}×γ_j)×({x_0}×C(y_i,ε)):=E;|s-w|≦1/k}とすると,
>> d(1/k)≠φ…(シ)(∵もし,=φなら(サ)に矛盾)。
>> そしてd(1/k)は減少関数,つまり,k>k+1⇒d(k)⊃d(k+1)…(ス)と分かる。
> 関数ではなくて集合族ですね.

どうも有難うございます。


>> この時,∃(s_0,w_0)∈E;∩_{k∈N}d(1/k)={(s_0,w_0)}ですね(∵区間縮小法の原理)で
>> |s_0-w_0|=0となっている
>> (∵もし≠0なら,∃k_0∈N;1/(k_0-1)≧|s_0-w_0|>1/k_0>0であり,
>> d(1/k_0)=φとなり,(シ)に矛盾)。
>> 即ち,s_0=w_0で{x_0}×C(y_i,ε)がγ_jと交点を持つ事になるが
>> 交点を持つなら,γ_jは"開"球同士の交円ですから,
>> {x_0}×C(y_i,ε)をもはや覆っていない事になり
>> γ_jが{x_0}×C(y_i,ε)の開被覆の一つになっている事に矛盾)。
> \gamma_j は開球 B((x_0, \zeta_j), \rho_{\zeta_j}) と
> B((x_0, \zeta_{j+1}), \rho_{\zeta_{j+1}}) の境界の交線でしたか.
> その上に w_0 があれば, B((x_0, \zeta_j), \rho_{\zeta_j}}) と
> B((x_0, \zeta_{j+1}), \rho_{\zeta_{j+1}}) では覆われていませんが,
> 他の B((x_0, \zeta_k), \rho_{\zeta_k}) で覆われているのかも
> 知れませんから, それだけでは矛盾とはいえません.

うぁお。そうですね。もとい、、、

Ξ:={γ'_1,γ'_2,…,γ'_l'}={γ∈{γ_1,γ_2,…,γ_l};Isdγ∩({x_0}×C(y_i,ε))≠φ}…(タ) (l':=#Ξ≦l,2≦l)。 

もしΞ=φなら(つまり,l=1,一つの開球Ball[(x_0,ζ_1),ρ_{ζ_1})のみで{x_0}×C(y_i,ε)を覆える),
τ:=ρ_{ζ_1}-ε(>0)と採ればよい。
次にΞ≠φの場合を考える。
もし,τ_j:=inf{|s-w|∈R;s∈{x_0}×γ'_j,w∈{x_0}×C(y_i,ε),}=0…(チ) 
(1≦j≦l')だとする。
その時,0<∀k∈Nに対して,d(1/k):={(s,w)∈({x_0}×γ'_j)×({x_0}×C(y_i,ε))=:E;|s-w|≦1/k} 
 (但し,1≦j≦l')と置くと,
d(1/k)≠φ…(ツ) (∵もし,=φなら(チ)に矛盾)。
そしてd(1/k)は減少集合族,つまり,k>k+1⇒d(k)⊃d(k+1)…(テ)と分かる。
この時,∃(s_0,w_0)∈E;∩_{k∈N}d(1/k)={(s_0,w_0)}ですね(∵区間縮小法の原理)で 

|s_0-w_0|=0となっている
(∵もし≠0なら,∃k_0∈N;1/(k_0-1)≧|s_0-w_0|>1/k_0>0であり,d(1/k_0)=φとなり,(チ)に矛盾)。
即ち,s_0=w_0で{x_0}×C(y_i,ε)がγ'_jと交点を持つ事になるがこれは(タ)に矛盾。 

よって(チ)は有り得ない。よってτ_j>0 。
故にτ:=min{τ_1,τ_2,…,τ_l'}と置いて,Γ:={Ball[(x_0,ζ),τ)}_{ζ∈C(y_i,ε)}という開被覆が取れる。
よって,Γとf^-1(0)の距離はτ以上。 (終わり)

これならいかがでしょうか? 


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