工繊大の塚本です.

2016年2月13日土曜日 12時26分30秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> Ξ:={γ'_1,γ'_2,…,γ'_l'}
> ={γ∈{γ_1,γ_2,…,γ_l};Isdγ∩({x_0}×C(y_i,ε))≠φ}…(タ) (l':=#Ξ≦l,2≦l)。 

\gamma_j は開球 B((x_0, \zeta_j), \rho_{\zeta_j}) と 
B((x_0, \zeta_{j+1}), \rho_{\zeta_{j+1}}) の境界の交線でしたね.
その「内部」というのは, それを含む平面における内部でしょうか.
 
> もしΞ=φなら
> (つまり,l=1,一つの開球Ball[(x_0,ζ_1),ρ_{ζ_1})のみで{x_0}×C(y_i,ε)を覆える),

 \Xi = \emptyset であるなら l = 1 であるというのは何故でしょうか.
そこが肝心のところです.
いずれにせよ, f(x_0, y_i) = 0 ですから,
一つの開球 B((x_0, \zeta_1), \rho_{\zeta_1}) のみで
 { x_0 } \times C(y_i, \epsilon) が覆われることはありません.

> τ:=ρ_{ζ_1}-ε(>0)と採ればよい。

意味不明です.
以下は無視しておきます.
-- 
塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp