Re: 2変数複素多項式の根の連続性について
再度申し訳ありません。
有限開被覆の件はあらゆるケースを想定せねばならないようですね。
ではこれならどうでしょうか?
『空でない閉集合A,BがA∩B=φで少なくとも片方が有界の時,
inf{|x-y|∈R;x∈A,y∈B}>0である』
を示せばいいのではないでしょうか?
(証)
Aを有界とすると∃r>0;A⊂{z∈C;|z|≦r}=:E(r).
もしE(r+1)∩B=φならd(A,B)>0。
もしE(r+1)∩B≠φなら,B:=E(r+1)∩B(:有界閉集合)と置き直して,
A∩B=φ且つinf{|x-y|∈R;x∈A,y∈B}>0を示す。
今,A×Bは有界閉集合でdは連続写像だからd(A×B)も有界閉集合。
よって,∃x_0∈A,y_0∈B;d(A×B)=min{|x-y|∈R;x∈A,y∈B}と書ける(つまり,最小値が存在する)。
ここで,d(A×B)=0なら,|x_0-y_0|=0でなければならない,即ちx_0=y_0しかしこれはA∩B=φである事に反する。
よって,,|x_0-y_0|>0しか有り得ない。
以上からd(A×B)>0。つまり, inf{|x-y|∈R;x∈A,y∈B}>0. (終わり)。
と考えたのですが。。
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