ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__01.pdf
>> とお陰様で何とか上手くいきましたが,
>> 1ページのProp205.29245の[1]で先ず,
>> ∫_ε^∞(ln(u))^2exp(hln(u))u^{s-1}/(exp(u)-1)duが積分確定
>> (振動しない,つまり複素数値を持つか∞である)
>> である事を言わねば不等号が意味不明になると思うのですが
>> どのように対処すれば宜しいでしょうか?
> ちょっと筆が滑ったので, 何をすべきかが伝わらなかったようですが,
>  F(s) = \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
> とするとき,
：
> ですから, 最後の積分が可積分であることを言えば良い.
> それは既に何度も使っている話です.

大変有難うございます。
取りあえず手直ししてみたのですが
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__05.pdf
ではいかがでしょうか?

>> あと,5ページ目の冒頭も同様に
>> ∫_{C_ε}(Σ_{n=2}^∞h^{n-2}(ln(u))^n/n!)u^{s-1}/(exp(u)-1)duが
>> 積分確定である事とC_εが有界閉集合でないと
>> Prop205.2924が使用できないのですがこれもどう対処すれば宜しいでしょうか?
> C_\epsilon を分けて議論すれば済むことです.

これもそうでした。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__08.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__09.jpg
>> で宜しいでしょうか?
> (v) の証明で, Re(s) \leq 1 のときの
>  \lim_{c \to +0} \int_c^1 x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) dx
> が間違っていることは既に注意しました. 極限は +\infty です.

了解です。

>>> Lebesgue 積分として \int_0^\infty |x^{s-1}/(\exp(x)-1)| dx = +\infty
>>> というのは意味がありますが, 複素数値の関数の積分で
>>> \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x)-1) dx = \infty
>>> というのは意味不明です.
>> 複素多様線積分では積分値が無限大になる事はないのでしょうか?
> 非負の実数値関数の積分は, 有限であるか, 正の無限大であるか,
> のどちらかですから,

これは納得です。

> 積分値が無限大であるということに
> 意味がありますが, そうでない関数の積分は「収束しない」としか
> 言えません. 複素数値でなくても,
>  \int_{-\infty}^\infty \sin x dx

これは振動しますね。

> が「無限大」かどうかなど意味がないでしょう.

仰る通りですね。

>> 例えば∫_1^∞ dx/xは実数上の積分と考えれば無限大になりますが
> f(x) = 1/x  (1 \leq x),  f(x) = 0  (otherwise)
> という関数は非負の実数値関数ですから,
> \int_{-\infty}^\infty f(x) dx
>  = \int_1^\infty dx/x
> が「収束しない」「可積分でない」という代わりに,
> 「無限大である」という言い方は出来ますが,

これも仰る通りです。

>> 複素数上の線積分と考えた場合は無限大とはならないのですね?
> 無限大であると言っても, 複素数平面を１点コンパクト化した
> リーマン面としての球面の無限大に値を取っているという話では
> ありません.

つまり,C内の∫_1^∞ dx/xは拡張された複素平面ではなく,有限複素平面で考えているのですね。

>> その場合,∫_1^∞ dx/xは何らかの複素数値を持つのでしょうか?
> だから, 値は持たないのです.

なるほど。∞はCに付加されてないので無限大とも言えずその代わり"値なし"と言うのですね。

>> 複素数の積分値を持たないという意味だったのですが。
> そういう書き方はしません.

了解です。憶えておきたいと思います。

>> 通例では"∫_A f(z)dz \not \in C"と表記したりすると
>> ∫_A f(z)dzは発散するという意味ではなく
>> 別の意味に取られ兼ねないというのですね。
> 無意味なことを書いていると判断されます.

"∫_A f(z)dz \not \in C"は"∫_A f(z)dz has no value"と表現するのですね。

>> "∫_A f(z)dz \not \in C"と表記したら発散ではなく
>> どのような意味に誤釈され易いのでしょうか?
> 貴方が何も分かっていないと判断されます.

そうでしたか。とほほ。。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__02.pdf
>> と取りあえずなったのですが
>> 上から8行目でfの定義でどうしてx=0での定義が必要なのでしょうか?
> そう定義することで, (開区間 (0, 1) ではなく)

今,(0,1]で∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dxは定義されてるんじゃないんですかね?
x=0ではこの積分は定義されませんが,x=1では定義されてるから,
複素線積分と広義線分の定義より,∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dxは
∫_{(0,1],0→1}x^{s-1}/(exp(x)-1)dxの意味だと思うのですが。

> 閉区間 [0, 1] 上での C^\infty 関数となるからです.

え!?少なくとも[0,1]の両端では微分不可能になるのではないでしょうか?
f(x)は[0,1]で連続で(0,1)で微分可能なら納得できますが。

どうして(0,1]でのC^∞級関数では不十分なのでしょうか?

>> その後,f(0)は登場しないのですが。
> 区間の端での値の極限として使われますよ.
> f(0) だけでなく, f'(0) や f''(0) etc. も使われます.

ちょっとチェックしてみます。

>> そして2ページ目の下から4行目の式がどうして発散と分かるのでしょうか?
> 先ず, s - N ではなく, s + N です. 但し, N は
> - N \leq Re(s) < - N + 1 で決める方が良いでしょう.