工繊大の塚本です.

In article <k4nao4$erf$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__02.jpg
> ででも宜しいでしょうか?

 |x^{s-1}/(\exp(x)-1)| > (1/2)x^{Re(s)-2}  (x \in (0, 1))
であることの証明は, 過不足があるようですが, まあ良いでしょう.
 \int_0^1 x^{Re(s)-2} dx が Re(s) \leq 1 で発散することの
証明のうち, Re(s) = 1 の部分は駄目です.

> すっすいません。Lebesgue 可積分でないと余り役に立たない
> というのはどういう意味なのでしょうか?

> In article <120921121447.M0126779@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > Riemann 広義積分として条件収束するかどうかなど
> > 考える意味はありません

ということです.

> 申し訳ありません。ちょっと大幅混乱しております。
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__00.pdf
> ではどうしていけないのでしょうか?

 (v) の主張が, x^{s-1}/(\exp(x)-1) は Re(s) \leq 1 のとき,
 [0, 1] 上 Lebesgue 可積分でない, であれば, それで良いのです.
 Riemann 広義積分は絶対収束しない, でも良い.

しかし, Lebesgue 可積分でなくても, Riemann 広義積分が条件収束
することは有り得ることですので, "\not\in \mathbf{C}" などと
いう曖昧な表現に対する証明としては不十分でしょう.

まあ, 積分が収束するということの表現として, "\in \mathbf{C}"
と書いたり, 積分が収束しないということの表現として,
 "\not\in \mathbf{C}" などと書くのは止めた方が良いでしょう.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__42.jpg
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__43.jpg
> でいいのですね。

 "monotone convergence" ですか. まあ良いでしょう.

> > ちょっと見ただけでも,
> > [Prop192.10032] の (i) の s が自然数のときの u^s の u = 0 での
> > 正則性の証明の一行目の最後が u^{s-1} の u = 0 での微係数の存在を
> > 主張している式になっているといった類の誤りやら,
> 
> えっ? u^sがu=0で微分係数の存在がu^sのu=0での正則性の証明には
> ならないのでしょうか?

それはなりませんが, そのことではなくて,
 u^s であるべきところが u^{s-1} になっているという指摘です.

> ならどうやってu=0での正則性の証明をすればいいのでしょうか?

 u = 0 で正則であるためには, u = 0 で微分可能だけでは不十分.
 u = 0 のある近傍の各点で微分可能でなければなりません.
 u = 0 でも u \neq 0 でも, s が自然数であるとき,
 u^s は「明らかに」微分可能ですが,
証明を与える以上, そのことにも触れておく必要があります.
ということで,

> > もっと重大な問題
> > としては, u = 0 での正則性が u = 0 での微分可能性を示せば証明された
> > と勘違いしていることとかが発見できましたが,
> > 一々調べませんし, 注意しません.

と述べました.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100032__00.jpg
> と訂正致しました。これなら如何でしょうか?

 s が自然数であるとき, u \neq 0 で u^s が微分可能であるとは
どういうことか, 分かっていらっしゃらないことが分かって,
びっくりしました.

 s が自然数であるとき, u^s が複素数平面全体で正則であることを
示せもしないというのは, 重症です.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__05.jpg
> でいいのですね。

 (ii) の証明では, u^{s-1}/(\exp(u)-1) = (u/(\exp(u)-1)) u^{s-2}
という変形をしないと, 何も意味のある結論は出ませんよ.
 s が 1 以下の整数であるとき, u = 0 は u^{s-1}/(\exp(u)-1) の
 2-s 位の極になります.

「高々 1-s 位の極」というのは大間違いです.

 (iii) で u = 0 での値を考えるのも無意味です.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2915__04.jpg
> でいいのですよね。

はい.

> えっ?  誠に申し訳ありませんが仰ってる内容が把握できません。
> 題意は「s∈C,ε∈(0,2π)の時,∫_C 
> u^{s-1}/(exp(u)-1)du=-∫_ε^∞u^{s-1}/(exp(u)-1)du
> +i∫_0^{2π}(εexp(iθ))^s/(exp(εexp(iθ))-1)dθ
> +exp(2πis)∫_ε^∞u^{s-1}/(exp(u)-1)du」 
> となっているのですが。

だから, それは任意の複素数 s で成立しているので,
 "s \in \mathbf{C} \setminus \mathbf{Z}" について
という話ではありません.

> >  \lim_{h \to 0}
> >   (\int_{C_\epsilon}
> >     ((u^{s-1+h} - u^{s-1})/h - \log(u) u^{s-1})/(\exp(u) - 1) du)
> >  = 0
> > を示すのです.
> 
> これを示すにはlimを∫の中に入れねばなりませんよね。

そうではありません.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__01.pdf
> という具合にして
> Lebesgeの単調収束定理を使うべく変形していったのですが
> 途中で単調性が判断しかねてしまい頓挫してしまいました。
> 一体,どのようにすべきなのでしょうか?

これは準備の仕方が悪い.

  \lim_{h \to 0}
   (\int_{C_\epsilon}
     ((u^{s-1+h} - u^{s-1})/h - \log(u) u^{s-1})/(\exp(u) - 1) du)
  = \lim_{h \to 0}
     (\int_{C_\epsilon}
       ((u^{h} - 1)/h - \log(u)) u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du)
  = \lim_{h \to 0}
     (\int_{C_\epsilon}
       ((\exp(h \log(u)) - 1)/h - \log(u)) u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du)
  = \lim_{h \to 0}
     (\int_{C_\epsilon}
       (\sum_{n=2}^\infty h^{n-1} ((\log(u))^n/n!)) u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du)
  = \lim_{h \to 0}
     h (\int_{C_\epsilon}
         (\sum_{n=2}^\infty h^{n-2} ((\log(u))^n/n!)) u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du)

であり,

  |\int_{C_\epsilon}
    (\sum_{n=2}^\infty h^{n-2} ((\log(u))^n/n!)) u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du|
   \leq \int_{C_\epsilon}
          (\sum_{n=2}^\infty |h|^{n-2} (|\log(u)|^n/n!)
             \times u^{Re(s)-1}/(\exp(u) - 1)) |du|
   \leq \int_{C_\epsilon}
          (\sum_{n=2}^\infty |h|^{n-2} (|\log(u)|^n/(n-2)!)
             \times u^{Re(s)-1}/(\exp(u) - 1) |du|
      = \int_{C_\epsilon}
          |\log(u)|^2 \exp(|h||\log(u)|) u^{Re(s)-1}/(\exp(u) - 1) |du|

なので, この最後の積分が |h| が十分小のとき有界であることを
示せば良い.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp