工繊大の塚本です.

In article <jvv0q2$i20$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2913__8.jpg
> とお蔭様で上手くいきました。

 \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) - 1) = 1 に相当することを
示すのにロピタルの定理を使うのは２重に間違っています.
 (\exp(u))' = \exp(u) であることは
 \lim_{u \to 0} (\exp(u) - 1)/u = 1 であることと
指数法則から導かれたりしますが, それなら

  \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) -1)
   = \lim_{u \to 0} (1/((\exp(u) - 1)/u))
   = 1/(\lim_{u \to 0} ((\exp(u) - 1)/u))
   = 1

は既に分かっている筈の話です. まあ, 実際には
複素変数の指数関数はベキ級数表示から始めるものでしょうから,
 u/(\exp(u) - 1) が u = 0 まで正則関数に伸びることも,
そこでの値が 1 であることも一度に分かることで,
その意味では, \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) - 1) = 1 は
「当たり前」のことですが.

それから何度も言いますが, 複素数値関数に対して
ロピタルの定理のような式を示しても証明にはなりません.

> もしかして正しい題意は
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__05.jpg
> でしょうか?

間違っています.
積分 \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du は,
 (\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s) \zeta(s) になることを
示すつもりではないのですか. \zeta(s) は Re(s) = 1/2 上に
無数の零点を持つ関数ですよ.

> In article <120801230751.M0121599@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > u^{s-1} も \exp(u) - 1 も(一価の)正則関数ですし,
> > 十分に小さな \epsilon に対しては \exp(u) - 1 は
> > \gamma_\epsilon 上では 0 になりませんから.
> 
> ここでのγ_εとは
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2992__00.jpg
> の曲線Cの事でいいのですよね?

何故, \epsilon が 1 以上かそうでないかで分けるのか, とか,
何故, t の範囲が角が 2 \pi から 4 \pi まで動くように
設定されているのか, とか, 不審な点はありますが,
良いでしょう.

> 留数定理とは
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2823__00.jpg
> ですよね。

必要なのは f が C 上では正則で, C の内部には孤立特異点のみ
持ち, 内部から孤立特異点を除いたところで正則であること
ですが, あなたの記述からそれは読み取れません.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2992__00.jpg
> ではγ_ε(つまり,C:z(t))は閉曲線となりましたが,

この時には整数の s で考えています.

> 一方
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__06.jpg
> (2π>εと加筆しました)で は, L_ε上を∞からεまで来て,
> C_εを一周して, M_εに乗り移る時には,2葉目のRiemann面に移って
> しまっているのでC_εは閉じてはいないんですよね。

この時には整数でない s を主に考えています.
 
> どちらが本当なのでしょうか?

 s が整数でないときには原点で分岐する Riemann 面を
考える必要があるし, s が整数の時には普通の複素数平面で
考えれば良い, というだけの話です.

> 取り敢えず
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__07.pdf
> となったのですが

それらの主張が多くの誤りを含んでいることは既に指摘しました.

> 下から8行目の∫_ε^∞exp((s-1)ln(x))/(exp(x)-1) dx∈C
> となる事はどうすれば言えるのでしょうか?

その Proposition の内容自体は問題ですが,
 \int_\epsilon^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx の扱い方は,
  = \int_\epsilon^1 x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
     + \int_1^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
と分けておいて, \int_\epsilon^1 x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx は,
 Re(s) > 1 であれば, \epsilon \to 0 としても, 有限値に収束する
ことを確かめ, \int_1^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx は
任意の s について有限確定値を持つことを,
 \int_1^\infty x^{Re(s) - 1} \exp(-x) dx < +\infty
を示して導くことになります. \Gamma(s) が Re(s) > 0 では
 \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx で与えられることを
ちゃんと理解していれば, 上記のことも示せる筈です.

> そして,末行において,Res_{u=0}u^{s-1}/(exp(u)-1)=0から
> uの解はどのように求まるのでしょうか?

 s = 1 の時, Res_{u=0} 1/(\exp(u) - 1) は 0 ではありません.
「 u の解」とは何のことですか.
 
> 取り敢えず
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_292__33.jpg
> は問題ありませんよね。

二つ目の Proposition で \exp(2 \pi i s) の s が抜けています.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__00.jpg
> の題意は間違いで
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__01.jpg
> が正しい題意なのですね。

後者も間違っています.
 \Gamma(s)/(\exp(2 \pi i s) - 1) をつけても
 1/((\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s)) をつけてもいけません.
 \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du を計算すると,
 - \int_\epsilon^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
 + i \int_0^{2 \pi}
      (\epsilon\exp(i\theta))^s/(\exp(\epsilon\exp(i\theta))-1) d\theta
 + \exp(2 \pi i s) \int_\epsilon^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
になるのです.

> > 必要なのは, Re(s) > 1 のとき,
> > \lim_{\epsilon \to +0} \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
> >  = (\exp(2 \pi i s) - 1) \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
> > が成立する, ということです.
> 
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_284__00.jpg
> ですね。了解です。 

はい.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp