工繊大の塚本です.

In article <jv20ds$ne4$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> > s が整数であれば, +\infty から \epsilon までの積分と
> > \epsilon から +\infty までの積分は打ち消し合います.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2993__00.pdf

この pdf file には access できないようです.

> となったのですが
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__01.jpg
> がどういうに打ち消しあって値が0になるのでしょうか?

一つの積分ではなくて,
 - \int_\epsilon^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
 + \exp(2 \pi i s) \int_\epsilon^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
が合わせて 0 になるという話です.

> > 残った原点を一周する部分の積分は計算できますね.
 
> 末行はどのように計算を進めていけばいいのでしょうか?

 \int_{\gamma_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
は, s が整数であれば, 通常の閉曲線上での正則関数の
線積分になりますから, 原点での留数から計算できます.

> あと,
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__04.jpg
> の証明は大丈夫でしょうか?

その話には関知しません.

> それと
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2901__00.jpg
> はどのように変形してけばいいのでしょうか?

おや? \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
 = (\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s) \zeta(s) が Re(s) > 1 で
成立するから, といった話ではありませんでしたか.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_98__12.jpg

この話にはもう関知しません.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__00.jpg
> も末行からどう進めば宜しいのでしょうか?

関知しません.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp