工繊大の塚本です.

In article <jqr39v$7fr$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> u≠0の時,u e^{xu}/(e^u - 1) = e^{xu}/(Σ_{n=0}^∞ u^n/(n+1)!)と
> 変形される事は分かりましたが,
> すっすいません。u=0ででもe^{xu}/(Σ_{n=0}^∞ u^n/(n+1)!)が正則
> というくだりの所の意味が分かりません。
> u=0の時は分母Σ_{n=0}^∞ u^n/(n+1)!=Σ_{n=0}^∞ 0^n/(n+1)!=1となるのは
> 分かりましたが,正則までもどうしてわかるのでしょうか?

ベキ級数で定義された関数は, 収束半径の内部では正則です.

> In article <120524184218.M0114042@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp > writes:
> > そもそも u e^{xu}/(e^u - 1) の微分を取る意味がないし,
> > 複素関数に対してロピタルの定理を使うのも間違っています.
> 
> え、え゛ーっ
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1023__06.JPG
> の証明はやはり出鱈目でしょうか?

はい, 出鱈目です. 因みに, その定理自身は正しい命題ですが,
それをロピタルの定理と呼ぶことはありません.

> 一体何処でしょうか?
> (Ball(ε,z_0, ||)はz_0を中心とする半径εの開球,
> Adh Ball(|z|,z_0,| |)はBall(|z|,z_0,| |)の閉包を表します)

正則な複素関数に対してのコーシーの平均値の定理というものは
存在しません.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1023__06.JPG
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_267__02.JPG
> としてみたのですがl'Holpitalの定理を使ったのでやはり駄目でしょうか?

その通り, 駄目です.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1211__00.JPG
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1213__00.JPG
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1213__01.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1233__09.jpg
> と一応なりましたが。。(因みにBall(|u_0|,0,| |)は中心u=0で
> 半径|u_0|の開球を表します)
> 
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1211__00.JPG
> にてl'Hospitalの定理を使ってしまいました。

それがロピタルの定理から出ることだと思っている時点で
全く駄目です.

 exp u - 1 が u = 2 n \pi i (n は整数) で一位の零点を持つ
というだけの話なのに, どうして複雑に間違えようとするのですか.

> 大変有難うございます。お陰さまで
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1234__02.jpg
> と解決できました。 

 obvious かどうかは知りませんが, まあ良いでしょう.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp