工繊大の塚本です.

In article <jpjif6$p6k$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <120523182208.M0109772@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 収束半径が 2 \pi であることは,
> > u e^{xu}/(e^u - 1) が |u| < 2 \pi で正則であり,
> 
> 0<|u|<2πではないのでしょうか?
> u=0の時はu e^{xu}/(e^u - 1) の分母が0になるので。

分子に u があるので, u = 0 のとき分子も 0 です.
 u = 0 にも正則に拡張されることは, 何度か議論しました.

> > u = 2 \pi i で一位の極を持つことから分かります.
> 
> すっすいません。u=2πiで一位の極を持つ事もどうして分かるのでしょうか?

 e^{2 \pi i} = 1 だから, 分母が 0 になり, 特異点を
持つのは良いですか. u = 2 \pi i のまわりでの
 1/(e^u - 1) の Laurent 展開を考えれば一位の極を
持つことも容易に示されます.

> > さあ, 分かりません. 収束半径が 2 \pi であることから,
> > |B_n(x)/n!| \leq M/r^n が成立する M の存在だけは
> > 分かります.
> 
> えー? これもどうして分かるのでしょうか?

収束半径が 2 \pi であることが分かりませんか. それとも,
収束半径が 2 \pi であるときに, 0 < r < 2 \pi なる r について,
十分大きな M を取れば |B_n(x)/n!| \leq M/r^n となることが
分かりませんか.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp