工繊大の塚本です.

 0 < x \leq 1 なる実数 x について,
 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1)) が全複素数平面上で
有理形関数であることの証明ですが,

In article <jous2f$d3n$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> お陰様で漸く何とか下記のように証明できました。
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop200_2__01.jpg

 U の取り方からして, どういう論理であるのか
分かっていないようですね. そもそも貴方の U の
記述は意味をなしていない.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop200_25__04.jpg

 1 < x の実数 x についての
 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1)) は考える必要が
ありません. 0 < x \leq 1 についての
 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1)) と \zeta(s, x) との
関係から, 0 < x \leq 1 についての \zeta(s, x) の有理関数性が
分かった後に, \zeta(s, x+1) = \zeta(s, x) - 1/x^s の関係を
用いて, 1 < x についての \zeta(s, x) については議論することに
なります.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop200_25__05.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop200_3__07.jpg

ですから, このあたりの考察は無意味ですし, 間違ってもいます.

> 次は
> 「x∈[0,∞)の時,Σ_{n=0}^∞B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1))は
> C\setminus{1,0,-1,-2,…}で正則である」
> から
> 「x∈Cの時,Σ_{n=0}^∞B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1))は
> C\setminus{1,0,-1,-2,…}で正則である」
> はどのようにして言えばいいのでしょうか? 

正の実数 x でしか \zeta(s, x) は考えていませんよ.
 
さて, 0 < x \leq 1 を満たす実数 x についての
 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1)) の有理関数性の
証明は次の通り.

どんな 2 以上の自然数 N についても, U_N = { s \in C ; |s| < N-1 }
において, n > N なる n については (n-1 \geq N であり)
 |(B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))| \leq (1/2^n)(1/(n-1-|s|))
  \leq 1/2^n となるので, Weierstrass の優級数判定法から
 \sum_{N+1}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1)) は U_N で正則であり,
一方, \sum_{n=0}^N (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1)) の各項
 (B_0(x)/0!)(1/(s-1)) は s = 1 以外では正則な関数であり,
 (B_1(x)/1!)(-1/s) は s = 0 以外では正則な関数であり,
 (B_2(x)/2!)(1/(s+1)) は s = -1 以外では正則な関数であり,
 \dots,
 (B_N(s)/N!)((-1)^N/(s+N-1)) は s = -N+1 以外では正則な関数であり,
結局, それらを合わせた \sum_{n=0}^N (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1)) は,
 U_N から s = 1, 0, -1, \dots, -N+1 を除いたところでは正則で,
 s = 1, 0, -1, \dots, -N+2 の中で U_N 内にあるものの所では極を持つ,
 U_N 上の有理形関数になります.
 N が 2 以上の自然数であれば何でもこのことが成立するので,
 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1)) は全複素数平面で
有理的な s = 1, 0, -1, -2, \dots に極を持つ関数であることが分かる.

これが正しい論理というものです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp