工繊大の塚本です.

In article <j2olii$t3m$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 題意が不正確でした
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__63.jpg
> という具合に"from {s∈C;Re(s)>1} "という語が必要でした。
> 
> Prop3.15の(2)の丸1については
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__58.jpg

厳密に言えば,

  (\int_0^\infty \exp(-t) t^s dt)(\sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s)
   = \int_0^\infty \sum_{n=0}^\infty \exp(-t) (t/(x+n))^s dt/t

とすることにはむしろ何の仮定も要らないのですが,
 u = t/(x + n) という変数変換をするには,
 n ごとに異なる変数変換をするのですから,
 \sum を外に出した

  \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty \exp(-t) (t/(x+n))^s dt/t

の形でないとそういう変形は出来ないので,

  (\int_0^\infty \exp(-t) t^s dt)(\sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s)
   = \sum_{n=0}^\infty (\int_0^\infty \exp(-t) t^s dt)/(x + n)^s
   = \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty \exp(-t) (t/(x+n))^s dt/t
   = \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty \exp(-(x+n)u) u^s du/u

と考えるものでしょう. この \sum を積分記号下に入れて,

   = \int_0^\infty \exp(-xu) (\sum_{n=0}^\infty \exp(-nu)) u^s du/u

として何故良いか, はお考え下さい.
 Re(s) > 1 では
 
  (\int_0^\infty \exp(-t) t^s dt)(\sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s)

は有限値でしたから, それと等号で結ばれているのであれば,

  \int_0^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u
   = \int_0^1 \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u
      + \int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u

が Re(s) > 1 では有限値であることも当然です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__59.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__60.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__61.jpg

ですから, 問題はここからで, 示すべきは,

  \int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u

が全複素数平面で正則になることと,

  \int_0^1 \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u

が全複素数平面から 1, 0, -1, -2, \dots を除いたところで正則で,
 1, 0, -1, -2, \dots で一位の極を持つことですが, 後者は
 0 < x \leq 1 として,

  \int_0^1 \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u
   = \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))

となることを認めれば良いわけです.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__62.jpg
> と訂正いたしました。これで大丈夫でしょうか?

前者の方はできていませんね. 既に述べたことを御参照下さい.
で, 結論は,

  \zeta(s, x)
   = (1/\Gamma(s))(\sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
                    + \int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u)

は, 全複素数平面から s = 1 を除いたところで正則で,
 s = 1 を一位の極とする, です.

> 最後でProp199.955が必要になったので
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_955__01.jpg
> と示してみたのですが
> 1/lim_{n→∞}(n^s n!/Π_{k=0}^n(s+k)が非零に収束する事が言えれば
> お仕舞いなのですがどうすれば言えますでしょうか?

だから, そんなことは言えません. その表示は忘れなさい.
 1/\Gamma(s) が全複素数平面で正則になること,
 1/\Gamma(s) が非正の整数で一位の零点を持つこと, は既に述べました.

> 取り敢えず,上記のように訂正いたしました。

まあ, 余り分かっていただけていないことは分かりました.

> でも
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__58.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__59.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__60.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__61.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__62.jpg
> を読み返してみると
> これはC\setminus{1,0,-1,-2,…}で正則である事を示しているようなので

そう, \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
は全複素数平面から s = 1, 0, -1, -2, \dots を除いたところで正則で,
 s = 1, 0, -1, -2, \dots で一位の極を持つことを示しました.
それを用いて,

> これはProp3.15の(2)の丸4のζ(s,x)の証明ですよね???

 \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s が全複素数平面から
 s = 1, 0, -1, -2, \dots を除いたところに解析接続され,
 s = 1, 0, -1, -2, \dots で一位の極を持つことを示しました.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__65.jpg
> ではいきなりRe(s)>1の範囲から話が進んでいますがこれでは
> 1/lim_{n→∞}(n^2 n!/Π_{k=0}^n(s+k)[Σ_{n=0}^∞(-1)^n
> B_n(x)/(n!(s+n-1))+∫_1^∞exp(-xu)u^{s-1}/(1-exp(-u)) du]
> がΣ_{n=0}^∞1/(x+n)^sの解析接続になっている事は証明できないと思うのですが、、 

 Re(s) > 1 での \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s
を書き直したものが, 実は, 全複素数平面から
 s = 1, 0, -1, -2, \dots を除いたところで正則で,
 s = 1, 0, -1, -2, \dots で一位の極を持つことが示されたので,
それが Re(s) > 1 での \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s
の解析接続です. それを 1/\Gamma(s) 倍したものは
 \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s の解析接続です.

> Prop3.15の(2)の丸1のζ(s,x)の証明は道理的には
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__64.jpg
> というステップで証明していくべきですよね?
> 二箇所の(∵??)の理由付けはどうすればいいのでしょうか?

 \zeta(s, x) は, \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s という
 Re(s) > 1 での正則関数を解析接続したものとして定義されます.

  (1/\Gamma(s))(\sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
                + \int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u)

は, 実際に解析接続したものが, 全複素数平面から s = 1 を除いたところで
正則で, s = 1 で一位の極を持つことを示している, 一つの表示です.

で, Re(s) > 1 で

  \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s
   = (1/\Gamma(s))(\sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
                   + \int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u)

となることが分かりませんか.

  (1/\Gamma(s))(\sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
                + \int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u)

が, 全複素数平面から s = 1 を除いたところで正則で,
 s = 1 で一位の極を持つことが分かりませんか.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_9__01.jpg
> としないといけませんでしたが
> ∫_0^1|ln(x)^k x^{s-1}exp(-x)|dxは何で押えれるのでしょうか?

先ず, 任意の正数 \epsilon に対して, ある正数 M_\epsilon があって,
 0 < x \leq 1 で - \log x \leq M_\epsilon 1/x^\epsilon となる
ことを証明しましょう.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_85__00.jpg
> で証明してました。失礼致しました。

 Re(s) > 1 という条件が何処で利いてくるのか分からないような
記述では証明できているとは言えません.

> > 最初を除けば
> 
> すっすみません。最初をどのように訂正すればよろしいのでしょうか?

貴方は

% http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_9___00.jpg
% http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop197_vol40.jpg
% http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop197_vol41.jpg
% http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop197_vol42.jpg
% http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop197_vol43.jpg

を一纏めにしていたのです. 最初の page

% http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_9___00.jpg

が全く駄目であることは既に指摘しました.

> でも
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__69.jpg
> で下から4行目の極限はどのように書けますでしょうか?

 \int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u が正則であることを
示すのに, その微分を考えるのであれば, 示すべきは

  \lim_{h \to 0}
  (\int_1^\infty \exp(-xu) u^(s+h)/(1 - \exp(-u)) du/u
   - \int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u)/h
  = \int_1^\infty \exp(-xu) (\log u) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u

となり, 最後の積分が収束することです.

 \lim_{k \to 0} とか \lim_{c \to 0} とかが出て来るのでは
何も分かっていないと評価せざるを得ません.

> それに倣って
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__69.jpg
> の下から5行目の作業を行ったのですが勘違いしておりますでしょうか?

全然倣えていません.
分子に現れるのが s + k で, 分母が h で,
 \lim_{k \to 0} を取るのでは支離滅裂です.

因みに, 示すべきは全ての複素数 s において,
私が上で書いたことが成立することであって,
 0, -1, -2, \dots を除く理由はありません.

 z = 0 で微分可能であるが, z = 0 で正則ではない関数の例として,

> > f(z) = |z|^2.

を挙げました.
 
> これはどうすれば一点z∈Cのみで微分可能で
> 微分可能なzの開近傍が存在しないと分かるのでしょうか?

複素関数としての微分を計算して御覧なさい.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_93__12.jpg
> ですね。

本当に懲りませんね.

> 未だ,使用禁止の決定的な理由を伺っておりません。
> 何故,Γ(s)=lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n (s+k)と書いては駄目&無意味なのでしょうか?
> lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n (s+k)は究めて扱い難い式なのだからでしょうか?

その表示では \Gamma(s) についてのどんな性質も明らかにならないからです.
それは Re(s) > 0 での \int_0^\infty u^{s-1} \exp(-u) du と,
 Weierstrass の乗積表示とを結び付ける中間生成物でしかありません.

> Weierstrassの乗積表示が便利で扱い易いからなのでしょうか?

 Weierstrass の乗積表示であれば, 全複素数平面で
 1/\Gamma(s) が正則であることがはっきりします.

> これはProp3.15の(2)の丸3ですね。b_nの存在はどうすればいえますでしょうか?

複素関数は正則であれば収束するベキ級数で表示されます.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/suuron0_p101__00.JPG
> ですかね。
> ∫_0^1f(s,u)du=Σ_{n=0}^∞B_n(x)/n!・(-1)^n/(s+n-1)の事かと推測しますが

はい.

> これはΣ_{n=0}^∞B_n(x)/n!・(-1)^n/(s+n-1)
> =B_0(x)/0!・(-1)^0/(s-(-0+1))+B_1(x)/1!・(-1)^1/(s-(-1+1))
>  +B_2(x)/2!・(-1)^2/(s+(-2+1))+… 
> 
> となって,s=1,0,-1,-2,…の時には∞になる項が出てくるので
> それの分子を留数と呼ばせてもらえば
> s=1の時,一位の極を持ち,その留数はB_0(x)/0!・(-1)^0,
> s=0の時,一位の極を持ち,その留数はB_1(x)/1!・(-1)^1,
> s=-1の時,一位の極を持ち,その留数はB_2(x)/2!・(-1)^2,
> s=-2の時,一位の極を持ち,その留数はB_3(x)/3!・(-1)^3,
> ：　
> となると思いますが

はい.

> 極の定義は
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_of_pole__00.jpg
> でΣ_{n=0}^∞B_n(x)/n!・(-1)^n/(s+n-1)が
> Laurent展開の形をしてないといけませんよね。

 Laurent 展開の形に書き直せれば良いのです.

> なのでΣ_{n=0}^∞B_n(x)/n!・(-1)^n/(s+n-1)の極は
> テキストからは分からないと思うのですが、、、

 s = 1 が極になることは,
 n = 0 の項が ((-1)^0 B_0(x)/0!)/(s - 1) で,
残りの項 ((-1)^n B_n(x)/n!)/(s + n - 1) は全て s = 1 で正則な関数で,
和 \sum_{n=1}^\infty ((-1)^n B_n(x)/n!)/(s + n - 1) は
 s = 1 の近傍で一様収束するので,
和 \sum_{n=1}^\infty ((-1)^n B_n(x)/n!)/(s + n - 1) は
 s = 1 の近傍で正則であり,
和 \sum_{n=1}^\infty ((-1)^n B_n(x)/n!)/(s + n - 1) は
ベキ級数 \sum_{k=0}^\infty a_{1,k} (s - 1)^k と表示されるので,

  \sum_{n=0}^\infty ((-1)^n B_n(x)/n!)/(s + n - 1)
   = ((-1)^0 B_0(x)/0!)/(s - 1) + \sum_{k=0}^\infty a_{1,k} (s - 1)^k

と書けることから分かります.

一般に s = - m が極になることは,
 n = m + 1 の項が ((-1)^{m+1} B_{m+1}(x)/(m+1)!)/(s + m) で,
残りの項 ((-1)^n B_n(x)/n!)/(s + n - 1)  (n \neq m + 1) は
全て s = - m で正則な関数で,
和 \sum_{n \neq m + 1} ((-1)^n B_n(x)/n!)/(s + n - 1) は
 s = - m の近傍で一様収束するので,
和 \sum_{n \neq m + 1} ((-1)^n B_n(x)/n!)/(s + n - 1) は
 s = - m の近傍で正則であり,
和 \sum_{n \neq m + 1} ((-1)^n B_n(x)/n!)/(s + n - 1) は
ベキ級数 \sum_{k=0}^\infty a_{-m,k} (s + m)^k と表示されるので,

  \sum_{n=0}^\infty ((-1)^n B_n(x)/n!)/(s + n - 1)
   = ((-1)^{m+1} B_{m+1}(x)/(m+1)!)/(s + m)
      + \sum_{k=0}^\infty a_{-m,k} (s + m)^k

と書けることから分かります.

> では何と表記すればいいのでしょうか? Re(s)≦0でのΓ(s)と申せば宜しいでしょうか?

 \Gamma(s) というのは解析接続されたものを表す記号ですから,
(そしてそれは全複素数平面での有理形関数になっているわけですから,)
何も言わずに \Gamma(s) と書けば良い.

> 1/Γ(s)(Γ(s)ζ(s,x))=ζ(s,x) (但し,Γ(s),ζ(s,x)の定義域は全複素平面)
> となってもζ(s,x)は非正整数で一位の極を相変わらず持ちますよね。

いいえ.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__00.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__01.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__02.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__03.jpg
> という具合に

これは \Gamma(s) \zeta(s, x) が
全複素数平面から 1, 0, -1, -2, \dots を除いたところで
正則であると主張しているだけですね. 先に述べたように,
 1, 0, -1, -2, \dots では一位の極を持つことも分かります.

> (この証明が正しければ)。

因みに間違いはあるようですが, 既に述べたことに含まれますので,
改めて指摘しません.

> それとも『f(z),g(z)ともD⊂Cの有理型関数でz=a(∈D)を極を持つとする時,
> 1/f(z)・g(z)はz=aで正則となる』という命題があるでしょうか?

 f(z) も g(z) も z = a で一位の極を持つなら,
 g(z)/f(z) が z = a で正則になるということは
既に説明しました.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__70.jpg
> となったのですが
> ∫_0^1exp(-xu)u^{s-1}/(1-exp(-u)) du +∫_1^∞exp(-xu)u^{s-1}/(1-exp(-u)) duから
> (s+k)^-1を括り出すと下から3行目の"??"の箇所はどのような式になるのでしょうか?

 k = 0, 1, 2, \dots, に対して,

  \int_0^1 \exp(-xu) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du
   = ((-1)^{k+1} B_{k+1}(x)/(k+1)!)/(s + k)
      + \sum_{n \neq k+1} ((-1)^n B_n(x)/n!)(s + n - 1)
   = ((-1)^{k+1} B_{k+1}(x)/(k+1)!)/(s + k)
      + f(s)

(但し, f(s) = \sum_{n \neq k+1} ((-1)^n B_n(x)/n!)(s + n - 1))
であり,

  g(s) = \int_1^\infty \exp(-xu) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du

とすると,

  \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(n + x)^s
   = ((-1)^{k+1} B_{k+1}(x)/(k+1)!)/(s + k)
      + f(s) + g(s)

であり, f(s) も g(s) も s = - k で正則ですから,
 f(s) + g(s) も s = - k で正則であり, 従って,
ベキ級数として表示されて,

  \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(n + x)^s
   = ((-1)^{k+1} B_{k+1}(x)/(k+1)!)/(s + k)
      + \sum_{n=0}^\infty a_n (s + k)^n

と書けることが分かります.

  F(s) = ((-1)^{k+1} B_{k+1}(x)/(k+1)!) + \sum_{n=0}^\infty a_n (s + k)^{n+1}

とすれば, F(s) は s = k の近傍で正則です. このとき,

  \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(n + x)^s
   = (s + k)^{-1} F(s)

と書けます.

  1/\Gamma(s) = (s + k) G(s)

と s = - k の近傍で正則な関数 G(s) を用いて書けることも
既に注意しました.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_93__13.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_93__14.jpg
> と上手くいきました。

何度注意しても無駄なようですね.

> 嘘とは
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_95__13.jpg
> の箇所の事でしょうか? 今,C\setminus|0,-1,-2,…}で考えてるので
> Π_{k=1}^∞((1+s/k)exp(-s/k))は零点を持たないではありませんか。

普通 [1] といった番号をつけるのはその行全体に対してです.
 [1] だから, というのでは無意味ですから, 無視しました.
 C \setminus { 0, -1, -2, \dots } で考えているとは読めません,
 [1] が C \setminus { 0, -1, -2, \dots } を表すのであるとしても,
「 s が C \setminus { 0, -1, -2, \dots } の元であれば」
といった文章にしなければ無意味ですから,
 [1] とだけ書いてあっても無意味ということで,
無視します. そうすれば「嘘」しか残らないでしょう.
「嘘」と言われたくなければ, きちんとした文章を書いてください.

第一, { 0, -1, -2, \dots } での挙動を問題にしている時に,
その点を除いて考えるのは馬鹿げています.

> > だから, この場合を「参考」にして, 自分で考えることが
> > できるようにならないと, 進歩しませんよ.

と申し上げたのは, \int_1^\infty \exp(-xu) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du
の正則性がそもそも問題になっていたからです.
それを示すには, Re(s) > 0 での \Gamma(s) の表示
 \int_0^\infty u^{s-1} \exp(-u) du が正則であることを示すのに
行った計算が, 実は,
 \int_0^1 u^{s-1} \exp(-u) du が Re(s) > 0 で正則であることと,
 \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-u) du が全複素数平面で正則であること
を示していることに気が付いた上で,
 \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-u) du が全複素数平面で正則であること
の証明を真似て
 \int_1^\infty \exp(-xu) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du が全複素数平面で
正則であることを示す必要があります.

> あっ、∫_0^∞u^{s-1}exp(-u) duはRe(s)>0でのΓの表示式の事でしたね。
> ボケておりました。
> 1/Γ(s)=1/∫_0^∞u^{s-1}exp(-u) du = s exp(sγ)Π_{k=1}^∞(1+s/k)exp(-s/k)
> が成立する位しかわかりませんでした。うーん,どのような関係があるのでしょうか?

だから, 1/\Gamma(s) の Weierstrass の乗積表示とは無関係です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__08.jpg

 \prod_{k=1}^n ((1 + s/k) \exp(s/k)) が正則関数であることは
別に示す必要のないことであり, 示すのも簡単ですが,
貴方の微分の計算は間違っています.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__09.jpg
> と訂正しましたがdominant sequence M|s|^2/k^2が変数sを含んでしまってます。
> 何で|-1+(1+s/k)exp(-s/k)|を押えればいいのでしょうか?

 |s| < R という領域で優級数が存在すれば良い, ということを
忘れているから, そういうトンチンカンな話になるのです.
これも別のところでどうすれば良いかは既に述べました.

> > だから, 1/((\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s)) \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1)
> > du と書けば良いので,
> 
> それだと∫_0^∞u^{s-1}exp(-u) duか
> lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n(s+k)か分からないではありませんか
> (それに大した長さの式でもありませんし)?

どちらも Re(s) > 0 でしか意味のない式ですから,
ここで使うには相応しくありません. きちんと
全複素数平面に解析接続したものを使わないといけない.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/Prop205_292__00.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/Prop205_292__01.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/Prop205_292__02.jpg

間違いはあるようですが, 一々指摘しません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/Prop205_292__03.jpg
> の下から4行目の"??"の箇所はどのように理由付けできますでしょうか?

 u/(\exp(u) - 1) は u = 0 にまで正則に延び,
 \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) - 1) = 1 であるから,
十分に \epsilon が小さいとき,
 u = \epsilon \exp(i \theta) としたときの
 | \epsilon \exp(i \theta)/(\exp(\epsilon \exp(i \theta) - 1) |
は \leq 2 と評価できる, という話は既に述べました.
 
> ところで
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__72.jpg

本来, Re(s) > 1 において,

  (\int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx)(\sum_{n=1}^\infty 1/n^s)
   = \sum_{n=1}^\infty (1/n^s)(\int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx)
   = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty u^{s-1} \exp(- n u) du

の和を積分記号下に入れて,

   = \int_0^\infty (\sum_{n=1}^\infty u^{s-1} \exp(- n u)) du

として良いか, というわけですが,

> の下から4行目の
> (1/∫_0^∞exp(-x)x^{s-1}dx)∫_0^∞u^{s-1}Σ_{n=1}^∞exp(-u)exp(-u)^{n-1}du
> から
> (1/∫_0^∞exp(-x)x^{s-1}dx)Σ_{n=1}^∞∫_0^∞u^{s-1}exp(-nu)du
> と変形できるのは何故なのでしょうか?

和 \sum_{n=1}^\infty u^{s-1} \exp(- n u) の収束は
 [0, +\infty) において一様ではないので,
 Lebesgue の定理を援用することになりましょう.

さて, u/(\exp(u) - 1) = 1/(\sum_{n=1}^\infty u^{n-1}/n!)
は \sum_{n=1}^\infty u^{n-1}/n! が u = 0 で零にならない
正則関数であるので, 明らかに u = 0 で正則です.

> 取り敢えずチェックしてみたのですが

余り意味のあるチェックの仕方ではありませんが,

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_127__00.jpg
> という具合に分母に0が来てしまいますが、、勘違いしてますでしょうか?

それは \sum_{n=1}^\infty u^{n-1}/n! を \sum_{n=0}^\infty に
書き直すのであれば, \sum_{n=0}^\infty u^n/(n+1)! となるのを
そうしていないのが根本原因ですが,
その後の計算も出鱈目ですね.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_128__00.jpg
> という風に0/0のという項が出て来てしまったのですが

それは f(0) の値のところで, u \neq 0 でしか成立しない式
 f(u) = u/(\exp(u) - 1) を使うからです.
 f(0) = 1 と定義されているのですから,

> 、、、どうすればいいのでしょうか?

  \lim_{h \to 0} (f(0 + h) - f(0))/h
   = \lim_{h \to 0} (h/(\exp(h) - 1) - 1)/h

を計算することになります.

> In article <110802034505.M0111093@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > この場合は, 正則であることが他の方法で分かっているので
> > 当然ながら, \lim_{u \to 0} f'(u) = f'(0) です.
> > u \neq 0 での f'(u) に u = 0 を代入してはいけません.
> > 0/0 の不定形の極限を計算すると f'(0) に一致することが
> > 示されます. それが出来ますか.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_128__01.jpg
> とお蔭様で上手くいきました。

これは上で言った, f'(0) の「定義による」計算です.
私が問うたのは \lim_{h \to 0} f'(h) = f'(0) であることを
直接示すことが出来ますか, ということで,
それが出来ているわけではありません.

> 一応,そこの箇所は解決しました。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/Prop205_292__00.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/Prop205_292__01.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/Prop205_292__02.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/Prop205_292__03.jpg
> でいいのですよね。

良くはありませんが.

> > |\epsilon \exp(i \theta)/(\exp(\epsilon \exp(i \theta)) - 1)| \leq 2
> > として良い, という注意を使わないからいけない.

成立の理由は上で再度述べたわけですが,

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__06.jpg
> を利用すればよかったのですね。

貴方の理由付けは, 最初から最後まで間違っています.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__07.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__08.jpg
> とお陰様で漸く解決できました。

というわけで, ちっとも解決していません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__09.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__10.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__11.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__12.jpg
> と訂正いたしました。これで大丈夫でしょうか?

上で述べたように駄目です.

> 結局
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__04.jpg
> でいいのですよね。

結論はそうですが, それに至る議論を貴方は理解していない.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_127__00.jpg
> の事ですね。

先に述べたように, それは出鱈目です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__07.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__08.jpg
> ですね。成程納得です。

先に述べたように, それで納得してはいけません.

> Cauchyの積分定理とは
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Cauchy_s_integral_theorem__00.jpg
> の事ですね。

 f が simple closed curve であり,
 g が holomorphic function だったのに,
 \int_C f(z) dz = 0 では意味を成しません.
そうでなくても, 条件が変です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_29__00.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_29__01.jpg
> と証明を試みたのですが

ピントが狂っています.

> u^{s-1}/(exp(u)-1)がu=0で正則な事と

ともあれ, この話は上でしました.

> -∫_ε^∞u^{s-1}/(exp(u)-1)du+∫_ε^∞exp(2πis)u^{s-1}/(exp(u)-1)duが
> 定数になる事はどうすれば示せるのでしょうか?　

 Cauchy の積分定理の応用として, 積分路が
被積分関数が正則な領域において
変形されても, 積分の値が変わらないこと, が導かれることは
どの複素関数論の教科書にも書いてあるでしょう.
もう少し具体的に言えば, \epsilon = \epsilon_1 のときと
 \epsilon = \epsilon_2 のときの値の差は
どのような経路での積分で表されますか.
その積分に Cauchy の積分定理を使うとどうなりますか.

> > 因みに, 極と零点とを考えると
> > (1/((\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s))) は正整数にのみ一位の極を持ち,
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_298__00.jpg
> と出来たのですが

それは何も出来ていません.
 1/(\exp(2 \pi i s) - 1) の極は何か,
 1/\Gamma(s) の零点は何か, を考えないといけない.

> どうすれば∫_0^∞exp(-x)x^{s-1}dxが全複素平面で≠0となる事を
> 証明できますでしょうか?

 Weierstrass の乗積表示から 1/\Gamma(s) は全複素数平面で正則ですから,
 \Gamma(s) は零点を持ちません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2993__00.jpg
> からどのように証明を進めていけばいいのでしょうか?

 s が整数であれば, +\infty から \epsilon までの積分と
 \epsilon から +\infty までの積分は打ち消し合います.
残った原点を一周する部分の積分は計算できますね.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/Prop199_955__02.jpg
> でいいのですね。

だから, そんな表示を使っては何も証明できませんよ.
出鱈目を書くのは止めにしましょう.

> 過去レスを読み漁っておりましたがDirichletのL関数について
> かなり混乱しております。先ずDirichletのL関数の定義は
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_DL__00.jpg
> ですよね。

 L(s, \chi) とは Re(s) > 1 で定義された
 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s という正則関数を
全複素数平面に有理形関数として解析接続したものです.
その正しい表示を書いて置きたいなら,
 \Gamma(s) を使って書きなさい.

> そしてpage95の命題3.15(3)を訂正致しました。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__73.jpg
> でしたね。

最後は良いでしょう.

> 「L(s,χ)を定義する無限和(n=1,2,3…」と明記してありましたね。
> L(s,χ):=Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)・1/(N^s lim_{n→∞}n^s n1/Π_{k=0}^n(s+k))・
> (Σ_{n=0}^∞(-1)^n B_n(a/N)/(n!(s+n-1))+∫_1^∞exp(-au/N)u^{s-1}/(1-exp(-u))du)
> と思い込んでしまってました。

 \Gamma(s) を使わないなら, 表示として不完全です.
 
> 命題3.15(3)の趣旨は要約するとRe(s)>0に於いて,
> Σ_{n=1}^∞χ(n)/n^s∈Cは一般のDirichlet指標χに於いて成り立つとは限らないが,
> 特にχがχ(Z_N^×)≠{1}というDirichelt指標なら
> Re(s)>0でもΣ_{n=1}^∞χ(n)/n^s∈Cが成り立ち,

 C に値を取る, とだけ書くのは余り感心しません.
ちゃんと, 正則関数である, と書きましょう.

> 更には全複素平面でΣ_{n=1}^∞χ(n)/n^s∈Cは正則となる

全複素数平面では \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s は
意味を持ちませんから, L(s, \chi) は正則である, と書きましょう.

> (注意:一般の一般のDirichlet指標χに於いて
> Σ_{n=1}^∞χ(n)/n^s∈Cが全複素平面で正則になるとは限らない)。

 L(s, \chi) は s = 1 に極を持つことがあります.

> 、、という事ですよね。
> なので命題3.15(3)の丸3を先に示して了えば,
> 命題3.15(3)の丸2,丸1は自動的に言えますね。

それは証明の仕方によります.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__75.jpg
> となりました。

これは丸１丸２の証明の途中ですね.

> Σ_{k=1}^{N-1}χ(k)/(mN)^s=0は
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_9__00.jpg
> をどのように利用して示せばいいのでしょうか?

貴方には \sum_{k=1}^{N-1} \chi(k) = 0 から
 \sum_{k=1}^{N-1} \chi(k)/(m N)^s = 0 を導くことが出来ませんか.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__75.jpg
> の末行の不等式はどうして成り立つのでしょうか?

これも他のところで散々議論しました.

 L(s, \chi) = \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s となるのは,
 \chi((Z_N)^\times) \neq { 1 } の時でも
 Re(s) > 0 においてです.
 
> χ(Z_N^×)≠{1}の条件の有無に拘らずなのですね。

 \chi((Z_N)^\times \neq { 1 } の条件が無ければ,
 Re(s) > 1 においてしか
 L(s, \chi) = \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s となると言えません.

> > それは Re(s) > 0 での表示です.
> 
> やはり
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_DL__03.jpg
> がL(s,χ)の全複素平面での表示式なのですね。

だから, \Gamma(s) を使って書かないと駄目です.

> χ(Z_N^×)≠{1}の条件があれば
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_DL__03.jpg
> のΣ_{n=1}^∞χ(n)/n^sは全複素平面で正則となるのですね。

だから, \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s は Re(s) > 0 でしか
意味を持ちませんから, 全複素数平面で正則となるのは
その解析接続として定義された L(s, \chi) です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__02.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__03.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__04.jpg
> という具合になりました。

 \Gamma(s) を使って書かない限り駄目です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__03.jpg
> の一行目の2箇所の正則性はどうすれば示せますでしょうか?

それは既に散々議論しました.

> そして3行目のΣ_{a=1}^{N-1}χ(a)1/(N^s lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n(s+k))≠0は
> どうすれば言えるのでしょうか?

何か勘違いしているようですが, s = 1 ではその項は
 \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(N \Gamma(1)) = 0 です.

> 更にhttp://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__04.jpg
> の2行目のΣ_{n=0}^∞a_n(s-1)^nの絶対収束性はどうすれば示せますでしょうか?

 \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(N^s \Gamma(s)) は s = 1 で 0 となる
正則関数ですから, (勿論絶対収束する)ベキ級数により
 \sum_{n=1}^\infty a_n (s - 1)^n と表されます.
 
> これから
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__76.jpg
> (3)の丸3は自動的に言えますね。

どのような議論か分かっていますか.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__76.jpg
> が(3)の正しい題意でしたね。

何が Re(s) > 0 で収束することが分かり,
何が全複素数平面での有理形関数としての表示であるか,
について混乱が見受けられます.

> やっと分かってきました。(3)の丸1は
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_DL__04.jpg
> という式を使うのですね。

違います.

> 納得です。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_DL__04.jpg
> を使うのですね。

違います.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__77.jpg
> でいいのですね。

 \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a^s は 0 にはなりませんよ.

> 所で
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_DL__04.jpg
> からどうやって,
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__78.jpg
> の冒頭の式に結び付ければいいのでしょうか?

だから, L(s, \chi) の全複素数平面での有理形関数としての
表示の式から出発するわけではありません.

  \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s
   = \sum_{m=0}^\infty \sum_{a=1}^N \chi(a)/(m N + a)^s

は, 後者が収束すれば前者も収束して一致するので,
それを出発点とするのです.

> そして最後の式が収束する事はどうすれば分かりますでしょうか?

  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a^s
   + \sum_{m=1}^\infty (\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(m N + a)^s)
   = f_0(s) + \sum_{m=1}^\infty f_m(s)

が何故 Re(s) > 0 で収束して正則関数を表すかについては
既に散々議論しました.

> うーんと,
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__79.jpg
> という具合に示せばいいのでしょうか?
> 相変わらず
> Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)・1/(N^s lim_{n→∞}n^s n1/Π_{k=0}^n(s+k))
> ・(Σ_{n=0}^∞(-1)^n B_n(a/N)/(n!(s+n-1))+∫_1^∞exp(-au/N)u^{s-1}/(1-exp(-u))du)
> からΣ_{m=0}^∞Σ_{a=1}^Nχ(a)/(mN+a)^sの変形が分からないのですが
> どうすればいいのでしょうか?

出発点は \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s です.

> 出だしは
> Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)・1/(N^s lim_{n→∞}n^s n1/Π_{k=0}^n(s+k))
> ・(Σ_{n=0}^∞(-1)^n B_n(a/N)/(n!(s+n-1))+∫_1^∞exp(-au/N)u^{s-1}/(1-exp(-u))du)
> でいいのですよね?

その表示はこの際関係ありません.

> > |f_m(s)| \leq (N |s|)/m^{Re(s)+1} (m > 0) を示しました.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__80.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__81.jpg
> でいいのですね。
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__81.jpg
> の2行目と

上で書いた不等式が何故成立するかは
既に散々議論しました.

そのことから何故 Re(s) > 0 で \sum_{m=1}^\infty f_m(s) が
広義一様収束することが導かれるかも
既に散々議論しました.

> 末行の(ii)はどのように示せばいいのでしょうか? 

 L(s, \chi) が(つまり, \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s を
解析接続したものが) Re(s) < 1 で正則になることにこそ,
 \chi が任意で成立する,

  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) (1/(N^s \Gamma(s)))
                   (\sum_{n=0}^\infty ((-1)^n B_n(a/N)/n!)/(s + n - 1)
                    + \int_1^\infty \exp(-au/N) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du)

という表示を使うのです.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp