工繊大の塚本と申します.

In article <2e428eab-9a06-460b-8cde-69388dca3002@z37g2000vbl.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__00.jpg
> という問題なのですが
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P100.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P101.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P102.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P103.JPG
> を見たのですが一体どういう手順で証明してあるのか分かりません。
> 
> 自分なりに
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__01.jpg

これの最後に出てくる

  \lim_{n \to \infty} \sup \{ |\chi(n)/n^s - 0| \in R ;
                              s \in \{ s \in C ; Re(s) > 1 \} \} = 0

等という無意味な式を見ると, 後は見ても仕方がないでしょうね.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__02.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__03.jpg

 \zeta(s) とか \zeta(s, x) とかの
未だこの本では証明がされていない公式とか,
又, 成立しない領域での公式だったりするものを
「密輸」しても, 意味のある議論にはなりませんよ.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__04.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__05.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__06.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__07.jpg

後は何がしたいのか, さっぱり分からないですね.

> という具合に直接証明しようと何とか試みましたが頓挫してしまいました。
> どのようにして証明してけばいいのでしょうか?

先ずは, テキストの読解から始めることですね.
 
> (1)の〓でΣ_{n=1}^∞|χ(n)/n^s|≦Σ_{n=1}^∞ 1/x^Re(s)が成立つのは何故なのでしょうか?

 n が N と互いに素でないとき \chi(n) = 0,
 n が N と互いに素であるとき |\chi(n)| = 1 であり,
 |n^s| = n^{Re(s)} ですから,

  \sum_{n=1}^\infty |\chi(n)/n^s|
   \leq \sum_{n=1}^\infty 1/n^{Re(s)}

です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp