ご回答誠に有難うございます。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__00...
>> という問題なのですが
：
> 先ずは, テキストの読解から始めることですね.

申し訳ありません。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__10.jpg
としてみたのですが
Γ(s)ζ(s,x)=∫_0^1exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u
+∫_1^∞exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u
でexp(-xu)が急激に0に近づくなら(as u→∞),どうして∫_1^∞exp(-xu)u^s/(1-exp(-u))

 du/u∈Cと言えるのでしょうか?

更には∫_0^1exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u∈Cとなるのは何故分かるのでしょうか?

それでもってΓ(s)ζ(s,x)∈Cならζ(s,x)が全複素平面に解析接続可能と分かるのでしょうか?

それでζ(s,x)が全複素平面に解析接続可能ならζ(s),L(s,χ),ζ_{a(modN)}(s)らも全複素平面に解析接続可能と言えるので
しょうか?

それと(3)の①,②「L(s,χ)がRe(s)>0で収束かつ正則になる」事についての証明で
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__11.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__12.jpg
Σ_{n=1}^Nχ(n)Σ_{m=0}^∞(1/(mN+n)^s
=Σ_{n=1}^Nχ(n)/(0・N+n^s+Σ_{m=1}^∞Σ_{n=1}^Nχ(n)/(mN+n)^s
と変形できるのは何故なのでしょうか?

又,
Σ_{n=1}^∞Σ_{n=1}^Nχ(n)/(mN+n)^s
=Σ_{n=1}^Nχ(n)(1/(mN+n)^s-1/(mN)^s)
と
Σ_{n=1}^Nχ(n)(1/(mN+n)^s-1/(mN)^s)
=Σ_{n=1}^Nχ(n)∫_{mN}^{mN+n}s/x^{s+1} dx
と変形できるのは何故なのでしょうか?

更に
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__12.jpg
の不等号が成立つのは何故なのでしょうか?

その結果,どうして
Σ_{m=1}^∞|Σ_{n=1}^∞χ(n)/(mN+n)^s|≦N|s|(1+1/Re(s))が言えるのでしょうか?

>> (1)の〓でΣ_{n=1}^∞|χ(n)/n^s|≦Σ_{n=1}^∞ 1/x^Re(s)が成立つのは何故なのでしょうか?
> n が N と互いに素でないとき \chi(n) = 0,
> n が N と互いに素であるとき |\chi(n)| = 1 であり,

|χ(n)|=1はどうして言えるのでしょうか?