工繊大の塚本です.

In article <4884dfe0-6450-471b-885d-16b8b89f7329@hd10g2000vbb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__10.jpg
> としてみたのですが
> Γ(s)ζ(s,x)=∫_0^1exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u
> +∫_1^∞exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u
> でexp(-xu)が急激に0に近づくなら(as u→∞),
> どうして∫_1^∞exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u∈Cと言えるのでしょうか?

 \exp(-u) \leq 1/u  (u > 0) ですから,
今, 自然数 M について 1 < Re(s) \leq M であるとすれば,

  \exp(- x u)
   = (\exp(- (x u)/(M+1)))^{M+1}
   \leq (1/((x u)/(M+1)))^{M+1}
      = ((M+2)/x)^{M+1} (1/u^{M+1})

ですから,

  | \exp(- x u) u^s/(1 - \exp(-u)) |
   \leq ((M+1)/x)^{M+1} (1/u)

となり, \int_1^\infty (1/u) du/u = \int_^\infty 1/u^2 du は
可積分ですから, \int_1^\infty \exp(- x u) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u も
可積分であることが分かります.

> 更には∫_0^1exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u∈Cとなるのは何故分かるのでしょうか?

 \exp(-x u) u/(1 - \exp(-u)) は u \in [0, 1] で有界であり,
 |u^{s-1}| = u^{Re(s)-1} で, Re(s) > 1 のとき
 \int_0^1 u^{Re(s)-1} du/u = \int_0^1 u^{Re(s)-2} du は可積分
ですから, \int_0^1 \exp(- x u) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u も
可積分であることが分かります.

> それでもってΓ(s)ζ(s,x)∈Cならζ(s,x)が
> 全複素平面に解析接続可能と分かるのでしょうか?

 \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s
の全複素平面上での有理形関数への解析接続が求まれば,
それの 1/\Gamma(s) 倍として,
 \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s の全複素平面上での
有理形関数への解析接続も得られますね. だから,

  \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s
   = \int_0^\infty \exp(- x u) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du

が全複素数平面上の有理形関数となることを示そうと
しているわけです.

  \int_1^\infty \exp(- x u) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du

が全複素数平面上で正則な関数になることは宜しいですか.

  \int_0^1 \exp(- x u) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du

の部分が全複素数平面上の有理形関数となることは
別の thread で述べました.

> それでζ(s,x)が全複素平面に解析接続可能なら
> ζ(s),L(s,χ),ζ_{a(modN)}(s)らも全複素平面に解析接続可能と
> 言えるのでしょうか?

 \zeta(s) = \zeta(s, 1) だから, \zeta(s) については
良いですね. \zeta_{\equiv a (N)}(s) = N^{-s} \zeta(s, a/N)
ですから, \zeta_{\equiv a (N)}(s) についても, 又,
 L(s, \chi) = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(s) \zeta_{\equiv a (N)}(s)
についても, 全複素平面上の有理形関数への解析接続が求まる
ことになります.

> それと(3)の〓,〓「L(s,χ)がRe(s)>0で収束かつ正則になる」事についての証明で
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__11.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__12.jpg
> Σ_{n=1}^Nχ(n)Σ_{m=0}^∞(1/(mN+n)^s
> =Σ_{n=1}^Nχ(n)/(0・N+n^s+Σ_{m=1}^∞Σ_{n=1}^Nχ(n)/(mN+n)^s
> と変形できるのは何故なのでしょうか?

元々, \chi(m N + n) = \chi(n) なので,

  \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s
   = \sum_{n=1}^N \chi(n)/n^s
     + \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^N \chi(m N + n)/(m N + n)^s
   = \sum_{n=1}^N \chi(n)/n^s
     + \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^N \chi(n)/(m N + n)^s

です.

> 又,　
> Σ_{n=1}^∞Σ_{n=1}^Nχ(n)/(mN+n)^s
> =Σ_{n=1}^Nχ(n)(1/(mN+n)^s-1/(mN)^s)
> と　

仮定より, \sum_{n=1}^N \chi(n) = 0 ですから,

  \sum_{n=1}^N \chi(n) 1/(m N + n)^s
   = \sum_{n=1}^N \chi(n) 1/(m N + n)^s - (\sum_{n=1}^N \chi(n)) (1/(m N)^s)
   = \sum_{n=1}^N \chi(n) (1/(m N + n)^s - 1/(m N)^s)

となります.

> Σ_{n=1}^Nχ(n)(1/(mN+n)^s-1/(mN)^s)
> =Σ_{n=1}^Nχ(n)∫_{mN}^{mN+n}s/x^{s+1} dx
> と変形できるのは何故なのでしょうか?

  \int_{m N}^{m N + n} 1/x^{s+1} dx
   = [-(1/s)(1/x^s)]_{m N}^{m N + n}
   = -(1/s)(1/(m N + n)^s) + (1/s)(1/(m N)^s)

ですから,

  1/(m N + n)^s - 1/(m N)^s
   = - \int_{m N}^{m N + n} s/x^{s+1} dx

と書き直したわけです.
 102 page の下から 4 行目に書いてありますね.
貴方の式は符号が間違っています.

> 更に
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__12.jpg
> の不等号が成立つのは何故なのでしょうか?

そういう不等式が要求されているわけではありません.
必要なのは,

  | 1/(m N + 1)^s - 1/(m N)^s |
   = | \int_{m N}^{m N + n} s/x^{s+1} dx |
   \leq \int_{m N}^{m N + n} |s/x^{s+1}| dx
   \leq |s| \int_{m N}^{m N + n} 1/x^{Re(s)+1} dx
   \leq |s| \int_{m N}^{m N + n} 1/(m N)^{Re(s)+1}
      = |s|((m N + n) - m N)(1/(m N)^{Re(s)+1})
      = n |s|/(m N)^{Re(s)+1}
      = (n/N^{Re(s)+1}) |s|/m^{Re(s)+1}
      \leq |s|/m^{Re(s)+1}

です. 1 \leq n \leq N と Re(s) > 0 に注意します.

> その結果,どうして
> Σ_{m=1}^∞|Σ_{n=1}^∞χ(n)/(mN+n)^s|≦N|s|(1+1/Re(s))が言えるのでしょうか?

  \sum_{m=1}^\infty |\sum_{n=1}^N \chi(n)/(m N + n)^s|
   = \sum_{m=1}^\infty |\sum_{n=1}^N \chi(n)(1/(m N + n)^s - 1/(m N)^s)|
   \leq \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^N |\chi(n)||1/(m N + n)^s - 1/(m N)^s|
   \leq \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^N |s|/m^{Re(s)+1}
   \leq \sum_{m=1}^\infty N |s|/m^{Re(s)+1}
      = N |s| \sum_{m=1}^\infty 1/m^{Re(s)+1}
      \leq N |s| (1 + \int_1^\infty 1/x^{Re(s)+1} dx)
         = N |s| (1 + 1/Re(s))

です.

> |χ(n)|=1はどうして言えるのでしょうか?

 (Z/NZ)^\times は有限群ですから, n が N と素であれば,
ある自然数 M があって, n^M \equiv 1  (\mod N) となります.
 1 = \chi(1) = \chi(n^M) = (\chi(n))^M ですから,
 |\chi(n)| = 1 です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp