工繊大の塚本です.

In article <ivv1kr$8mv$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110704172919.M0211835@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 1 \leq u において,
> >  |\exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u))|
> >   \leq ((M+1)/x)^{M+1} u^{Re(s) - (M+1)}/(1 - e^{-1})
> >   \leq ((M+1)/x)^{M+1}/(1 - e^{-1}) (1/u)
> > となり, \int_1^\infty |\exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u))| du/u が
> > 有限になることが分かります.
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__33.jpg
> となって最後でどうしても((M+1)/x)^{M+1} 1/uに持っていけないのですが、、

 1/(1 - e^{-1}) は消えませんが, 積分が収束するという
結論は変わりませんから, 問題ありません.

> どうすればいいのでしょうか?

どうする必要もありません.
 \leq 1/(1 - e^{-1}) ((M+1)/x)^{M+1} 1/u のままで良いわけです.

> > 一般に, f(u) を u \in [0, 1] で連続な関数で,
> > \lim_{u \to 0} f(u) = 1 であるとすれば,
> > 実数 \lambda について
> > \int_0^1 u^\lambda f(u) du が収束する為の
> > 必要十分条件は \lambea > - 1 となることです.
> > f(u) = \exp(- x u) u / (1 - \exp(-u)) は上の条件を
> > 満足しているというわけです.
> 
> f(u)はu=0では定義されないので不連続だと思うのですが、、、

勿論, f(0) = \lim_{u \to 0} \exp(- x u) (u/(1 - \exp(-u))) = 1 と
定義しておきます. そうすれば,

  f(u) = \exp(- x u) (u/(1 - \exp(-u)))  (u \neq 0)
         1                               (u = 0)

と定義された f(u) は連続になります.

> > 失礼. 正確に言えば, \int_0^1 \exp(-xu) u^{Re(s)}/(1-\exp(-u)) du/u が
> > 収束する為の条件ですね. それは上で述べたとおりです.
> 
> 十分条件ですね。

いえ, 絶対値を取ったものについては収束する為の
必要十分条件です.

> exp(-xu)u^s/(1-exp(-u))もu=0では定義されないので不連続なので

ですから,

  \exp(- x u) (u^s/(1 - \exp(-u)))
   = u^{s-1} \exp(- x u) (u/(1 - \exp(-u)))
   = u^{s-1} f(u)

として, f(u) = \exp(- x u) (u/(1 - \exp(-u)))  (u \neq 0),
 f(0) = 1 と定義した f(u) は [0, 1] 上で連続です.

> 「f(u)をu∈[0, 1] で連続な関数で,lim_{u→0}f(u)=1であるとすれば,実数λについて、 
>  積分_0^1 u^λ f(u) du が収束 ⇔ λ>-1」
> という命題は使えないと思うのですが、、

 f(u) を上述のように取れば問題ありません.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop205_23__01.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop205_23__02.jpg
> の中ですね。
> Σ_{n=0}^∞d/ds[B_n(x)(-1)^n/n!(s+n-1)]がC\setminus{1,0,-1,-2,…}で
> 一様収束する事はどうすれば示せますでしょうか?

正則関数の一様極限は自動的に正則関数になるので, 
正則関数の微分が一様収束することを改めて示す必要はない,
ということを繰り返し御説明申し上げております.
岩波講座 現代数学への入門「複素関数入門」神保道夫著 を
お読み下さい.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol37.JPG
> に倣って試してみましたが

随分と中途半端なところで終わっていますね.

> ∫_0^∞(ln(x))x^{s-1}exp(-x)dxに相当するものが何になるのか
> 分かりませんでした。

当然, 積分記号下で微分したものです.

> とりあえずf(s):=∫_1^∞ u^{s-1}e^{-u}duと置いて

今, 正則であることを示したいのは,

  g(s)
   = \int_1^\infty \exp(- x u)/(1 - \exp(-u)) u^s du/u
   = \int_1^\infty u^{s-1} \exp(- x u)/(1 - \exp(-u)) du

です.

> df(s)/ds=lim_{h→0}(f(s+h)-f(s))/h　
> =lim_{h→0}[∫_1^∞ u^{s+h-1}e^{-u}du-∫_1^∞ u^{s-1}e^{-u}du]/h
> =lim_{h→0}[∫_1^∞ u^{s-1}(u^h-1)e^{-u}du]/h
> からどうすればいいのでしょうか?

その \Gamma(s) が正則であることの話の片割れは
別の Thread を参照していただくとして,

  (g(s + h) - g(s))/h
   - \int_1^\infty (\log u) u^{s-1} \exp(- x u)/(1 - \exp(-u)) du
   = \int_1^\infty (u^h - 1 - h \log u)/h u^{s-1} \exp(- x u)/(1 - \exp(-u)) du

ですから,

  | (g(s + h) - g(s))/h
     - \int_1^\infty (\log u) u^{s-1} \exp(- x u)/(1 - \exp(-u)) du |
   \leq \int_1^\infty |u^h - 1 - h \log u|/|h|
                      \times u^{Re(s)-1} \exp(- x u)/(1 - \exp(-u)) du

となり,

  u^h - 1 - h \log u
   = \exp(h \log u) - 1 - h \log u
   = \sum_{n=0}^\infty (h \log u)^n/n! - 1 - h \log u
   = \sum_{n=2}^\infty (h \log u)^n/n!

より, u \geq 1 では

  | u^h - 1 - h \log u |
   \leq \sum_{n=2}^\infty |h \log u|^n/n!
   \leq |h|^2 |\log u|^2 \sum_{n=2}^\infty (|h||\log u|)^{n-2}/n!
   \leq |h|^2 |\log u|^2 \sum_{n=2}^\infty (|h||\log u|)^{n-2}/(n-2)!
      = |h|^2 |\log u|^2 \exp(|h||\log u|)
      = |h|^2 (\log u)^2 u^{|h|}

となるので,

  | (g(s + h) - g(s))/h
     - \int_1^\infty (\log u) u^{s-1} \exp(- x u)/(1 - \exp(-u)) du |
   \leq |h| \int_1^\infty (\log u)^2 u^{Re(s)+|h|-1}
                          \times \exp(- x u)/(1 - \exp(-u)) du

となりますから, この最後の積分が有限であれば,

  \lim_{h \to 0} (g(s + h) - g(s))/h
   = \int_1^\infty (\log u) u^{s-1} \exp(- x u)/(1 - \exp(-u)) du

であって, g(s) は各点 s で微分可能となり,
全複素数平面上で正則となります.

> > 正則関数の一様収束極限が正則関数であること
> > を使う方が良いでしょう.
> 
> ありがとうございます。
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop205_23__01.jpg
> という風に定理3.18の中で証明している事柄でした。

 prog205_23__01.JPG と prog205_23__01.jpg とは区別されている
のですね. 前者は廃棄された方が良いでしょう.

> > 心配するところが間違っています.
> > 恒等的に零でない正則関数は
> > 孤立した零点しか持ちませんから,
> 
> そうでしょうか。例えば
> y=(x+1)^2 (if x<-1),
> 0 (if -1≦x≦1),
> (x-1)^2 (if 1<x)
> は恒等的に0ではない微分可能な関数ですが非孤立な零点を持ちますが、、、

それは正則関数ではありません.
正則関数とは何か, がお分かりでないなら,
岩波講座 現代数学への入門「複素関数入門」神保道夫著 を
お読み下さい.

> > 正則関数での割り算は, 有理形関数の範囲では,
> > 問題なく行えます.
> 
> つまり,f,g,hが有理型関数なら
> (i) f=g ⇔ f+h=g+h　
> (ii) f=g ⇔ αf=αg (但し,α∈C)
> (iii) f=g ⇔ fh=gh　
> (iv) f=g ⇔ f/h=g/h　
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop205_21__00.jpg
> という(いわば方程式の性質のような)性質が成立つのですね。

なにやら話が食い違っているような気がしますが,
まあ良いでしょう.

> > A 上の関数 f と B 上の関数 g が与えられたとしても,
> > f + g を A \cup B 上の関数として定義できる筈がないでしょう.
> > A \cap B 上の関数としてなら意味がありますが,
> > A \cap B は, 何の条件もなければ, 空集合であることもあります.
> 
> えっ? 単に∀z∈A∩B(≠φ)に対して,(f+g)(z)=f(z)+g(z)と
> 定義すればいいではありませんか?

だから, そうとしか出来ない, と申し上げています.
貴方は A と B との合併集合の上で f + g が定義されると
書いたのです.

> 孤立特異点の箇所ではΓ(s)=∞となるので

今, \zeta(s, x) の定義に使われているのは,
 \Gamma(s) ではなく, 1/\Gamma(s) であり,
 1/\Gamma(s) は全複素数平面で正則であり,
更に, 非正の整数 s では 1 位の零点を持ちます.
その零点により, \zeta(s, x) は s = 1 以外の
極を持たないことになります.

> その場合,ζ(s,x)は定義されないのでないのでしょうか?

だから, \zeta(s, x) は s = 1 以外では正則関数になります.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop205_25__01.jpg
> と書き直せば

 (1) から (4) では「合併集合」上での無意味な議論が
なされているので, 正しく書き直っているとはいえませんが,

> (5)は正しいでしょうか?

 (5) では A = B = C としているのですね.
しかし, A', B', C' についての条件が分からないので,
正しいとはいえないでしょう.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_93__01.jpg
> にてC\setminusZ^-では収束する事を証明してしまったので

その証明は間違っていますから, 駄目です.
ともあれ, 収束する形に書き換えられると言っても,
そのままの形で物事を議論するのは間違いの元です.

> Re(s)>1で収束する事は(一応は)既知ではありませんか。

まあ, 貴方に正しく証明できるとは思いませんが,
「既知」ではあります.

> lim_{h→0} [lim_{c→∞}∫_1^c　exp(-xu)u^{s+h}/(1-exp(-u))du/u-lim_{h→0}∫_1^c 
>  exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u]

三つ目の \lim は \lim_{c \to \infty} でしょうが,
差を h で割ったものの極限でないと微分になりませんよ.

> の値は何と予想すればいいのでしょうか?

正しくはどうするかについては既に述べました.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_95__01.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_95__02.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_95__03.jpg
> と一応,証明してみたのですが間違ってますでしょうか?

やっと Weierstrass の乗積表示(の逆数)には到達したようですが,
ここで問いかけたのは, それと \int_0^\infty u^{s-1} e^{-u} du
という表示との関係です.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_99__00.jpg
> としてみたのですが
> どうしてd/ds lim_{n→∞}Π_{k=0}^n((1+s/k)+exp(-s/k))から
> lim_{n→∞}d/ds Π_{k=0}^n((1+s/k)+exp(-s/k))に持っていけるのでしょうか?

もう一度言います.
正則関数の一様収束極限は自動的に正則関数になるので,
微分が一様収束することなどを確かめる必要はありません.
岩波講座 現代数学への入門「複素関数入門」神保道夫著 を
お読み下さい.

> 1/[exp(2πis-1)lim_{n→∞}n^sn!/Π_{k=0}^n(s+k)] ∫_c u^{s-1}/(exp(u)-1) du

だから, その \Gamma(s) の表示は駄目です.
また, 式が間違っています.
 (1/(\exp(2 \pi i s) - 1)) \int_C z^{s-1}/(\exp(z) - 1) dz
が \Gamma(s) \zeta(s) です.

> は　
> ∫_∞^εu^{s-1}/(exp(u)-1) du+∫_0^{2π}[(εexp(iθ))^{s-1}εi
> exp(iθ)]/(exp(εexp(iθ))-1) dθ+∫_ε^∞ exp(2πis) u^{s-1}/(exp(u)-1) du
> と具体的に書き直せるのですね。
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__37.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__38.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__39.jpg
> という風になったのですが
> どうして,Re(s)>1ではlim_{ε→0}∫_0^{2π}[(εexp(iθ))^{s-1}εi
> exp(iθ)]/(exp(εexp(iθ))-1) dθ=0と言えるのでしょうか?

まず, u/(\exp(u) - 1) = 1/(\sum_{n=1}^\infty u^{n-1}/n!) は
 u = 0 でも正則で, \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) - 1) = 1 ですから,
 \epsilon が十分に小さければ,
 |\epsilon \exp(i \theta)/(\exp(\epsilon \exp(i \theta)) - 1)| \leq 2
となることに注意します.
また, \exp(i \theta)^{s-1} = \exp(i \theta (s - 1))
 = \exp(i \theta (Re(s) - 1) \exp(- \theta Im(s)) であり,
 |\exp(i \theta)^{s-1}| = \exp(- \theta Im(s)) \leq \exp(2 \pi |s|)
です. s が定まっていれば, これは有限.

  | \int_0^{2 \pi} (\epsilon \exp(i \theta))^{s-1} \epsilon i \exp(i \theta)
                    / (\exp(\epsilon \exp(i \theta)) - 1) d\theta |
   \leq \int_0^{2 \pi} \epsilon^{Re(s)-1} (2 \exp(2 \pi |s|) d\theta
      = (4 \pi \exp(2 \pi |s|)) \epsilon^{Re(s)-1}

ですから, Re(s) > 1 であれば

  lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^{Re(s)-1} = 0

より明らかです.

> そしてこれからどうして
> ∫_0^{2π}[(εexp(iθ))^{s-1}εi exp(iθ)]/(exp(εexp(iθ))-1) dθ=0が
> 言えるでしょうか?

そんなことは言えませんし, 言う必要もありません.

> あと,
> -∫_ε^∞ exp((s-1)ln(Re(u))+iArg(u))/(exp(u)-1) duが
> lim_{ε→0}∫_ε^∞ u^{s-1}/(exp(u)-1) duに、
> ∫_ε^∞[exp(2πis)exp((s-1)(ln(Re(u)+iArg(u)))]/(exp(u)-1) du
> に夫々書き換えられるのでしょうか?

 \int_C z^{s-1}/(\exp(z) - 1) dz は \epsilon によらず一定ですから,

  \int_C z^{s-1}/(\exp(z) - 1) dz
   = \lim_{\epsilon \to +0}
      (- \int_\epsilon^\infty u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
       + \int_0^{2\pi} (\epsilon \exp(i \theta))^{s-1}
                       \times i \epsilon \exp(i \theta)
                        / (\exp(\epsilon \exp(i \theta)) - 1) d\theta
       + \int_\epsilon^\infty \exp(2 \pi i s) u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du)
   = - \int_0^\infty u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
     + \exp(2 \pi i s) \int_0^\infty u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du

となるわけです.

> すいません。最後の
> 1/[exp(2πis)∫_0^∞exp(-x)x^{s-1}dx] (exp(2πis)-1)
> ∫_0^∞exp(-u)/(1-exp(-u)) du
> =Σ_{n=1}^∞ 1/n^s
> の変形はどうして出来るのでしょうか?

式が間違っています.

  (1/(\exp(2 \pi i s) - 1)) \int_C z^{s-1}/(\exp(z) - 1) dz
   = \int_0^\infty u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
   = \int_0^\infty u^{s-1} \exp(-u)/(1 - \exp(-u)) du
   = \int_0^\infty u^{s-1} \sum_{n=1}^\infty (\exp(-u))^n du
   = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty u^{s-1} \exp(- n u) du
   = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty (t/n)^{s-1} \exp(-t) (1/n) dt
   = \sum_{n=1}^\infty 1/n^s \int_0^\infty t^{s-1} \exp(-t) dt
   = \Gamma(s) \sum_{n=1}^\infty 1/n^s

です.

> 1/Γ(s)=s(exp(slim_{n→∞}(Σ_{k=1}^n
> 1/n-ln(n)))Π_{k=0}^∞((1+s/k)exp(-s/k))ですよね。

 \prod は \prod_{k=1}^\infty です.

> 1/lim_{n→∞}(n^s n!/Π_{k=0}^n(s+k))=lim_{n→∞}Π_{k=0}^n(s+k)/(n^s n!)
> =s(exp(slim_{n→∞}(Σ_{k=1}^n 1/n-ln(n)))Π_{k=0}^∞((1+s/k)exp(-s/k))
> を見ましたが

ともあれ,

  1/\Gamma(s) = s e^{\gamma s} \prod_{k=1}^\infty((1 + s/k)\exp(-s/k))

ですが,

> f(s)はどのような形になるのでしょうか?

 \Gamma(s) を f(s)/\prod_{k=0}^\infty(s + k) の形に
書けるわけではないので, その質問は無意味です.
しかし, 1/\Gamma(s) が s = 0, -1, -2, \dots で
 1 位の零点を持つことが Weierstrass の乗積表示から
分かるわけですから, s = 1 だけが極として残ることが分かります.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def__13.jpg
> でしたね。

直っていませんね.

> > その表示では s = 1 の所は高々極になることしか分かりません.
> 
> でも今,定義域はRe(s)>0なので
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__32.jpg
> の表示を使わざる得ませんよね。

そんなことはありません. \chi((Z/NZ)^\times) \neq { 1 }
であれば,

  L(s, \chi) = \sum_{m=0}^\infty (\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(m N + a)^s)

を変形していって, L(s, \chi) が Re(s) > 0 で正則である
ことが示せるという話は別の thread でしました.

> > # 留数まで計算すれば, 無意味とは言いません.
> 
> どのようにして留数を求めれるのでしょうか?

 Laurent 級数展開での (s - 1)^{-1} の項は

  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(N^s \Gamma(s)) B_0(a/N)/(s - 1)

を展開して出て来ることから計算されます. B_0(x) = 1 ですから, 

  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)

が留数で, 留数が 0 だから高々 1 位の極 s = 1 は
実は極でないことが分かり, s = 1 で正則です.

> すいません。Σ_{n=1}^∞χ(n)/n^s は何に対する表示でしょうか?
> L(s,χ)をΣ_{n=1}^∞χ(n)/n^sを使ってどのように表示できるのでしょうか?

 L(s, \chi) というのは元々 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s
で与えられる関数を解析接続したものとして定義されているのですよ.

> えっ?
> Σ_{n=1}^Nχ(n)Σ_{m=0}^∞1/(mN+n)^sから
> Σ_{n=1}^Nχ(n)/n^s+Σ_{m=1}^∞Σ_{n=1}^Nχ(n)/(mN+n)^s
> はRe(s)>0で有効なのでしょうか?

良く見て下さい.

  \sum_{a=1}^N \chi(a) \sum_{m=0}^\infty 1/(m N + a)^s

は使っていません.

  \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s
   = \sum_{m=0}^\infty (\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(m N + a)^s)

を使っているのです. 後者を書き換えると,
 Re(s) > 0 で正則であることが分かる表示が得られます.

このことは既に

> > 私が Re(s) > 1 のときのものなので無意味だと言ったのは
> >  \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s
> >   = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \sum_{n=0}^\infty (a + N n)^s
> > の変形のことです. どう違うのか分かりますか.

と注意しました.

> すっすいません。分かりません。ご解説お願い申し上げます。 

 \sum_{n=0}^\infty (a + N n)^s では Re(s) > 1 でないと
絶対収束しないのです.

 \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(m N + a)^s = a_m(s) の評価を
きちんと行うと, \sum_{m=0}^\infty a_m(s) が Re(s) > 0 で
広義一様に収束することが分かります.
これも別の thread で既に述べました.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp