工繊大の塚本です.

In article <j4qkcs$e9h$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110827055555.M0128818@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 厳密に言えば,
> >  (\int_0^\infty \exp(-t) t^s dt)(\sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s)
> >   = \int_0^\infty \sum_{n=0}^\infty \exp(-t) (t/(x+n))^s dt/t
> > とすることにはむしろ何の仮定も要らないのですが,
> 
> 確かに
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__05.jpg
> と出来ました。

貴方は広義積分 \int_0^\infty を \lim_{c \to \infty} \int_0^c に
書き直したので, それと \sum_{n=0}^\infty とを交換して,
 \lim_{c \to \infty} \sum_{n=0}^\infty \int_0^c
の順にするところでも議論が必要です. それはさておき,

> > u = t/(x + n) という変数変換をするには,
> > n ごとに異なる変数変換をするのですから,
> > \sum を外に出した
> >  \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty \exp(-t) (t/(x+n))^s dt/t
> > の形でないとそういう変形は出来ないので,
> >  (\int_0^\infty \exp(-t) t^s dt)(\sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s)
> >   = \sum_{n=0}^\infty (\int_0^\infty \exp(-t) t^s dt)/(x + n)^s
> >   = \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty \exp(-t) (t/(x+n))^s dt/t
> >   = \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty \exp(-(x+n)u) u^s du/u
> > と考えるものでしょう.

ここまでは当たり前に成立, に注意.

> そうでした。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__06.jpg
> のように無限和で変数変換が可能か証明が必要になってきますよね。

それは, 要するに, 上での \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty を
 \int_0^\infty \sum_{n=0}^\infty に書き直して良いか,
ということです.

> > この \sum を積分記号下に入れて,
> >   = \int_0^\infty \exp(-xu) (\sum_{n=0}^\infty \exp(-nu)) u^s du/u
> > として何故良いか, はお考え下さい.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__07.jpg

 \sum_{n=0}^k \exp(-(x+n)u) = \exp(-xu) \sum_{n=0}^k \exp(-nu)
 = \exp(-xu) \sum_{n=0}^k (\exp(-u))^n というのは
等比級数なのですよ. 計算できませんか.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__08.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__09.jpg
> と考えてみたのですが

等比級数の和を考えずに u_k, v_k とか抽象的な話だけで済む
問題ではありません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__08.jpg
> の下から4行目でu_k(t)∈L^1,
> つまりu_k(t)がLebesgue可測で∫_R |u_k(t)|dx<∞となる事と
> u_k(t)がu(t)(∈R)に収束する単調増加列である事はどうすれば言えますでしょうか?

等比級数の和を考えてから御質問下さい.

> えっどうして一位の極を持つ事も示さねばならないのですか?

現在計算しているのは \Gamma(s) \zeta(s, x) です.
 \zeta(s, x) = (1/\Gamma(s))(\Gamma(s) \zeta(s, x))
が s = 1 以外では正則で, s = 1 で一位の極を持つことを示すには,
 s = 0, -1, -2, \dots で一位の零点を持つ 1/\Gamma(s) を
掛けてそうなることを示す為に,
 \Gamma(s) \zeta(s, x) が s = 1, 0, -1, -2, \dots で
一位の極を持つことを示しておかないといけません.

> > 後者は
> > 0 < x \leq 1 として,
> >  \int_0^1 \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u
> >   = \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
> > となることを認めれば良いわけです.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__10.jpg
> でいいのですね。

だから, \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1)) が
 s = 1, 0, -1, -2, \dots で一位の極を持つ, 全複素数平面上の
有理形関数であることを述べておく必要があります.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_995__00.jpg
> でいいのですよね。

全然駄目です. (d/ds)(\int_1^n \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u) の
計算が出鱈目です.

  (d/ds)(\int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u)
   = \int_1^\infty \exp(-xu) (\log u) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u

となることを厳密に証明して御覧なさい.

> > で, 結論は,
> >  \zeta(s, x)
> >   = (1/\Gamma(s))(\sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
> >                    + \int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u)
> > は, 全複素数平面から s = 1 を除いたところで正則で,
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__12.jpg
> の(iii)を示して
> 
> > s = 1 を一位の極とする, です.
> 
> これは
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__12.jpg
> の(iii)と
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_993__01.jpg
> から

 1/\Gamma(s) が, です. 無意味な表示を使うのは止めなさい.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_28__01.jpg
> を使ってζ(s,x)がC\setminus{1}で正則である事が示されるのですね。

不必要な条件が紛れ込んでいますが, 良いでしょう.

> それで
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__12.jpg
> の(iii)を示したいのですが
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_24__02.jpg
> ではRe(s)>1では∫_0^1exp(-xu)u^s/1-exp(-u) 
> du/u=Σ_{n=0}^∞B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1))で正則なる事は分かりますが
> ∫_0^1exp(-xu)u^s/1-exp(-u) du/uがR(s)≦1での正則性が分からないので
> (もし∫_0^1exp(-xu)u^s/1-exp(-u) du/uがC\setminus{1,0,-1,-2,…)でも正則なら
> Σ_{n=0}^∞B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1))という解析接続関は不要になってしまいますが)
> どうすればいいのでしょうか?

勿論, \sum_{n=0}^\infty B_n(x) (-1)^n/(n! (s + n - 1)) が
全平面上での有理形関数で, s = 1, 0, -1, -2, \dots で
一位の極を持つ以外の特異点を持たないことを示すのですよ.

それはさんざん説明しました.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__13.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__14.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__15.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__16.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__17.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__18.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__19.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__20.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__21.jpg
> が突破できればこれの(i)と(ii)と
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_28__01.jpg
> でお仕舞いだと思います。

頑張って下さい.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_95__14.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_95__15.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_955__01.jpg
> とすればいいのですね。

そんな表示を使う人には答えたくありません.

> > そう, \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
> > は全複素数平面から s = 1, 0, -1, -2, \dots を除いたところで正則で,
> > s = 1, 0, -1, -2, \dots で一位の極を持つことを示しました
> 
> 誠に申し訳ありません。何処レスだったかどうしても見つけれませんでした。

例えば, <110623174053.M0101955@ras1.kit.ac.jp>.
Subject: Re: ζ(1-r,x)=-rB_r(x) (where x∈C)とζ_{amodN}(1-r)=-1/r N^{r-1}B_r(a/N)を示せ
の thread にあります.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_of_zero_point__00.jpg
> と　
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop198_6__00.jpg
> とから
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_235__00.jpg
> としたのですがΣ_{n=0}^∞B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1))の絶対収束性と

 0 < x \leq 1 のとき, |B_n(x)/n!| \leq 1/2^n を使う.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_235__01.jpg
> はどうすれば示せますでしょうか?

 \sum_{n=N}^\infty B_n(x) (-1)^n/(n! (s + n - 1)) が |s| < N で
正則であれば,
 \sum_{n=0}^{N-1} B_n(x) (-1)^/(n! (s + n - 1)) は「有理関数」ですから,
 |s| < N での \sum_{n=0}^\infty B_n(x) (-1)^n/(n! (s + n - 1)) の
有理形関数性とその極については直ぐに分かるでしょう.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_28__01.jpg
> を使って
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_2__01.jpg
> とすればいいのですね。

そんな表示を使う人には答えたくありません.

> 取り敢えず
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_2__01.jpg
> でいいのですよね。

そんな表示を使う人には答えたくありません.

> ただ
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__12.jpg
> の(iii)でΣ_{n=0}B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1)=∫_0^1exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u
> が全複素平面で成り立つのでしょうか?

違いますよ. Re(s) > 1 で定義された正則関数
 \int_0^1 \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u
は全複素数平面上の有理形関数に解析接続され,
その全複素数平面上での一つの表示として,
 \sum_{n=0}^\infty B_n(x) (-1)^n/(n! (s + n - 1))
を使うことができるのです.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_24__02.jpg
> という具合に
> Σ_{n=0}B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1)が∫_0^1exp(-xu)u^s/(1-exp(-u))du/uの
> Re(s)>1から全複素平面への解析接続関数になっている事は分かりましたが

そうです.

> 全複素平面でΣ_{n=0}B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1)
> =∫_0^1exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/uが成り立つ事を言わねば
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__12.jpg
> の(iii)は使えないと思います。

そんなことはありません.

> どうすれば
> Σ_{n=0}B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1)=∫_0^1exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u
> が全複素平面で成り立つ事が言えますでしょうか?

そんなことは成り立ちませんし, そんな必要もありません.

> > 先ず, 任意の正数 \epsilon に対して, ある正数 M_\epsilon があって,
> > 0 < x \leq 1 で - \log x \leq M_\epsilon 1/x^\epsilon となる
> > ことを証明しましょう.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_87__00.jpg
> でいいのですね。

 M_\epsilon は x によらない「定数」でないと意味がありません.
 - x^\epislon \log x で良い筈がないでしょう.
本当に, 解析学における「評価」の意味が分かっていますか.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_9__02.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_9__03.jpg
> となりましたが
> ∫_1^∞(ln(x))^k x^{Re(s)-1}exp(-x)dxは何で押えればいいのでしょうか?

それは目的に依ります. 単に
積分 \int_1^\infty (\log x)^k x^{Re(s)-1} \exp(-x) dx が収束する
というだけであれば, \log x < x を使うだけでも言えます.

> > Re(s) > 1 という条件が何処で利いてくるのか分からないような
> > 記述では証明できているとは言えません.
> 
> えっ。Re(s)>0でなくRe(s)>1としないとこの命題は成り立たないのでしょうか?

おっと失礼. 「 Re(s) > 0 という条件が何処で利いてくるのか
分からないような記述では証明できているとは言えません」です.

> > 最初の page
> > % http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_9___00.jpg
> > が全く駄目であることは既に指摘しました.
> 
> えっ? 確認してみましたが何処が駄目なのでしょうか?

この page は消されてしまったようですね.
以前に指摘したのは
!  Prop196.9 の方は証明になっていません. 
! \log x \leq x ですが, |\log x| \leq |x| となるのは 
! x \geq 1 においてのみです. 
ということでした.

> > \int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u が正則であることを
> > 示すのに, その微分を考えるのであれば, 示すべきは
> >  \lim_{h \to 0}
> >  (\int_1^\infty \exp(-xu) u^(s+h)/(1 - \exp(-u)) du/u
> >   - \int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u)/h
> 
> =lim_{h→0}∫_1^∞(exp(-xu)(u^(s+h)-u^s)/(1 - \exp(-u))) du/u
> と書けるのは何故なのでしょうか?
> ∫_1^∞(exp(-xu)u^(s+h)/(1 - \exp(-u))) du/uと
> ∫_1^∞(exp(-xu)u^h-u^s)/(1 - \exp(-u))) du/uとも
> 収束しないとこのようには書けませんよね。

勿論, 最初に, 0 < x \leq 1 のとき,
 \int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u が　
任意の s で収束することは示してあるものとします.
疑問に思うなら, 先ずそれを自分で示して御覧なさい.

> >  = \int_1^\infty \exp(-xu) (\log u) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u
> 
> lim_{h→0}∫_1^∞(exp(-xu)(u^(s+h)-u^s)/(1 - \exp(-u))) du/uから
> ∫_1^∞exp(-xu)(log u)u^s/(1-exp(-u))du/u
>  とln(u)が出てくるのは何故なのでしょうか?

 (d/ds)(u^s) = (\log u) u^s だから.

> > となり, 最後の積分が収束することです.
> 
> これはそうですね。

ちゃんと示すのですよ.

> > 因みに, 示すべきは全ての複素数 s において,
> > 私が上で書いたことが成立することであって,
> > 0, -1, -2, \dots を除く理由はありません.
> 
> そうでしたね。取り敢えず
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__13.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__14.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__15.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__16.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__17.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__18.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__19.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__20.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__21.jpg
> と手直ししました。

既にいくつか指摘しましたから, 今は見ません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_1235__00.jpg
> として矛盾を発生させて非正則である事を示そうとしたのですが結局,2ε∈C
> となって了い,z=0の近傍でも微分可能になってしまいました。
> 何処が間違っておりますでしょうか?

 |\epsilon + h|^2 = \overline{(\epsilon + h)}(\epsilon + h)
 = |\epsilon|^2 + \overline{\epsilon} h + \overline{h} \epsilon + |h|^2
と |\epsilon|^2 + 2 \epsilon h + |h|^2 とは違います.
他にも間違いがあります.

> そうですか。これでΓ関数の一般式の逆数がs=0,-1,-2,…ででも
> Weierstrassの乗積表示と一致する事が矛盾無く解釈できると思ったのですが
> 何かおかしいでしょうか?

 \Gamma(s) の一般式として, 変な表示を使っていること.

> > その表示では \Gamma(s) についてのどんな性質も明らかにならないからです.
> 
> そんなに歴史が浅い式だったのですね。

歴史の問題ではないです.

> > それは Re(s) > 0 での \int_0^\infty u^{s-1} \exp(-u) du と,
> > Weierstrass の乗積表示とを結び付ける中間生成物でしかありません.
> 
> 了解です。

了解したら使わないこと.

> > Weierstrass の乗積表示であれば, 全複素数平面で
> > 1/\Gamma(s) が正則であることがはっきりします.
> 
> Weierstrassの乗積表示が全複素平面で正則である事は分かりましたが
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_93__12.jpg
> のProp199.98がWeierstrassの乗積表示の(s=0,-1,-2,…にて違和感の無い)定義と
> 解釈してもいいのですよね?

いいえ.

> > 複素関数は正則であれば収束するベキ級数で表示されます.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_1237__00.jpg
> が成り立つのですね。

その記述は不正確です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_2__02.jpg
> となったのですが

  \zeta(s, x)
   = (1/\Gamma(s))(\sum_{n=0}^\infty B_n(x) (-1)^n/(n! (s + n - 1))
                   + \int_1^\infty \exp(-xu) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du)

が正しい.

> どうしてζ(s,x)=∫_0^1exp(-xu)u^{s-1}/(1-exp(-u)) duと変形できるのでしょうか?

出来ません.

> そして次の∫_0^1exp(-xu)u^{s-1}/(1-exp(-u)) 
> du=Σ_{n=0}^∞B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1))という変形は
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_24__03.jpg
> を利用したのかなと思いましたが
> 今ここでは積分範囲は0から1までとなっていてRe(s)>1ではないので
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_24__03.jpg
> は利用できないと思います。この変形はどうすれば出来るでしょうか?

 \zeta(s, x) というのは, Re(s) > 1 で \sum_{n=0}^\infty (x + n)^s 
により定義される正則関数を, 全複素数平面上の有理形関数に解析接続した
ものとして定義されているので, 問題ありません.

> そしてLaurent展開を試みたのですが
> B_0(x)/(s-1) + -B_1(x)/((s-1)^0(s-1)) (s-1)^0 + B_2(x)/2/((s-1)(s-(-1)))^1 
> (s-1)^1 +眈 となってしまって
> 一向にLaurent展開の形に持っていけないですがこれもどうすればいいのでしょうか?

 \zeta(s, x) = B_0(x)/(s - 1) + 正則関数  となれば,
それから Laurent 展開が得られます.

> > s = 1 が極になることは,
> > n = 0 の項が ((-1)^0 B_0(x)/0!)/(s - 1) で,
> > 残りの項 ((-1)^n B_n(x)/n!)/(s + n - 1) は全て s = 1 で正則な関数で,
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_233__00.jpg
> を利用するのとかと思いましたがどうして
> B_0(x)(-1)^0/(0!(s+0-1))を取り除いた
> Σ_{n=1}^∞B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1))は正則と言えるのでしょうか
> (一見言えそうな気はしましたが具体的にどうしても理由が分かりません)?

 |B_n(x)/n!| \leq 1/2^n と Weierstrass の優級数判定法です.

> > 和 \sum_{n=1}^\infty ((-1)^n B_n(x)/n!)/(s + n - 1) は
> > s = 1 の近傍で一様収束するので,
> 
> すいません。これは
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/theorem5_4__01.jpg
> 利用して言えるのかと思いますが|B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1))|を押える
> dominant sequence {M_n}として何が取れますでしょうか?

その為に, |B_n(x)/n!| \leq 1/2^n を準備しておいたのです.

> > \Gamma(s) というのは解析接続されたものを表す記号ですから,
> > (そしてそれは全複素数平面での有理形関数になっているわけですから,)
> > 何も言わずに \Gamma(s) と書けば良い.
> 
> 通常,何も言わない時にはΓ(s)と書いたら
> Re(s)>0限定の∫_0^∞exp(-x)x^{s-1}dxを表す訳ではなく,
> 全複素平面での(忌み嫌われてる)例の表示式
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_gamma_function__01.jpg
> を表すのですね。

違います. それは捨てなさい.

> 因みにζ(s),L(s,χ),ζ_{≡amodN}(s),ζ(s,x)についても通常
> ζ(s),L(s,χ),ζ_{≡amodN}(s),ζ(s,x)と書いたら夫々
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def__16.jpg
> を表すのですね。
> 今後そのような解釈で行きたいと思います。

違います. まあ, 言っても分からないようですから,
勝手に恥をかいて下さい.

> えっ!?  1/Γ(s)(Γ(s)ζ(s,x))はs=0,-1,-2,…で極を持たなくなってしまうのですか?

当然です.

> それなら
> 1/Γ(s)(Γ(s)ζ(s,x))=ζ(s,x)という等式は成り立たなくなってしまうではありませんか?

そんなことはありません.

> なぜなら
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Hurwitz_zeta_function__01.jpg
> というζ(s,x)Aの定義より。

そんな定義見たことがありません.

> これは矛盾ですよ。

何も矛盾はありません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__22.jpg
> なら正しいですよね。

積分 \int_0^1 \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u のままでは
 Re(s) > 1 での表示でしかありません.

> >  \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(n + x)^s
> >   = (s + k)^{-1} F(s)
> > と書けます.

上は, 正確に言えば, \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s を
全複素平面上の有理形関数として解析接続したものは,
 s = - k  の近傍では, s = - k の近傍での正則関数 F(s) を用いて,
 (s + k)^{-1} F(s) と書けます,
ということです.

> すいません。ちょっと混乱しております。結局は
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__22.jpg
> の(i)が示せればいいですよね。

だから, \int_0^1 \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u は
 Re(s) > 1 でしか収束しない表示ですから, それを
全複素数平面上の有理形関数として解析接続したものに
置き換えれば, という風に「読み替えれば」,
正しい記述になります.

> >  1/\Gamma(s) = (s + k) G(s)
>  と s = - k の近傍で正則な関数 G(s) を用いて書けることも
> > 既に注意しました.
> 
> 申し訳ありません。何処で述べられましたでしょうか?
> ちょっと見つけれません。

 \Gamma(s+1) = s \Gamma(s) を使った話は何度かしました.

> これはProp199.923の事ですよね。
> 誠に申し訳ありません。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__07.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__08.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__09.jpg
> と再訂正してみたのですが何処がおかしいでしょうか?

貴方には Weierstrass の優級数判定法は決して理解できないものと
思います. 「 thus take r = |s| an M = \exp(|s|) 」等という
文章がある限り全くの出鱈目でしかありません. いや [0] の行から
おかしい訳ですが. まあ, 解析学自体が理解できないものと
お考えになった方が良いと思います.

> お手数お掛けしてすみません。

もう, 手は掛けません.

> ちょっとまだ混乱しておりますが
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_93__18.jpg
> と再々訂正したのですがこれでも不味いでしょうか?

ま, お好きなように.

> > \int_1^\infty u^{s-1} \exp(-u) du が全複素数平面で正則であること
> > の証明を真似て
> > \int_1^\infty \exp(-xu) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du が全複素数平面で
> > 正則であることを示す必要があります.
> 
> 既に
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_995__01.jpg
> と∫_1^∞ exp(-xu) u^{s-1}/(1-exp(-u)) du が
> 全複素数平面で正則である事を示したのですがこれでも大丈夫でしょうか?

だから, それは証明にはなっていません.
唯の無意味な式の羅列でしかありません.

> あ、それと下から2行目のΣ_{k=1}^∞|exp(-xk)|k^{Re(s)-1}/|1-exp(-k)|∈Rと
> なる事はどうすれば言えますでしょうか?

それ以前に無意味です.

> > |s| < R という領域で優級数が存在すれば良い, ということを
> > 忘れているから, そういうトンチンカンな話になるのです.
> > これも別のところでどうすれば良いかは既に述べました.
> 
> これも混乱してましたので
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__12.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__13.jpg
> と訂正しました。私としてはだいぶ分かり易くなったのですが
> これで大丈夫でしょうか?

やっと, 私が書いた通りに書き直したかと思ったら,
又, 新たな誤りが混入していますね.
どうして k^2 が k^4 に化けるのでしょう.

> > どちらも Re(s) > 0 でしか意味のない式ですから,
> > ここで使うには相応しくありません. きちんと
> > 全複素数平面に解析接続したものを使わないといけない.
> 
> "きちんと全複素数平面に解析接続したもの"
> とは
> lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n(s+k)とは
> 異なる別の(∫_0^∞u^{s-1}exp(-u) duの全複素平面への)解析接続関数が
> あるのでしょうか?

 \lim_{n \to \infty} n^s n!/(\prod_{k=0}^n (s + k))
自体は \int_0^\infty u^{s-1} \exp(-u) du と一致するということが
最初分かるだけで, その形を見ていても,
全複素数平面で意味があるものとは分かりません.
 Weierstrass の乗積表示(の逆数)と一致することが分かった上で,
 Weierstrass の乗積表示が全複素数平面上で正則関数を表すことを
用いて, 初めて「つなぎのやくにたつ」ことが分かるだけです.
 Weierstrass の乗積表示の形で書かない限り,
「きちんと全複素数平面に解析接続したもの」を表示したことには
なりません.

だから, 貴方の記述から, \lim_{n \to \infty} n^s n!/(\prod_{k=0}^n (s + k))
という表記を全て削除しなさい.

> > u/(\exp(u) - 1) は u = 0 にまで正則に延び,
> > \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) - 1) = 1 であるから,
> > 十分に \epsilon が小さいとき,
> > u = \epsilon \exp(i \theta) としたときの
> > | \epsilon \exp(i \theta)/(\exp(\epsilon \exp(i \theta) - 1) |
> > は \leq 2 と評価できる, という話は既に述べました.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__13.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__14.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__15.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__16.jpg
> とお陰様で漸く解決できました。

いやあ, [8] のような出鱈目を書いて, 何とも思わないというのは
想像の外です. |\cos \theta + \sqrt{-1} \sin \theta| = 1 とは
思わないのですね.

ともあれ, 貴方に「評価」は無理です. 解析学は諦めて下さい.

> > 和 \sum_{n=1}^\infty u^{s-1} \exp(- n u) の収束は
> > [0, +\infty) において一様ではないので,
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_104__00.jpg
> と確認できました。

貴方が計算しているのは,
和 \sum_{n=1}^\infty u^{s-1} \exp(- n u) ではなくて,
和 \sum_{n=1}^\infty u^{s-1}/\exp(- n u) なので,
何にもなっていません.

> > Lebesgue の定理を援用することになりましょう.

まあ, 貴方に何かできるとは思わないのですが,

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_zeta_function__00.jpg

 Weierstrass の乗積表示に変えたことに免じて,
一言述べますと,

> と　
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2923__00.jpg

 (1/\Gamma(s))/(\exp(2 \pi i s) - 1) は全複素数平面から
 s = 1, 2, 3, \dots を除いたところで正則であり,
 s = 1, 2, 3, \dots では一位の極を持ちます.

因みに, 貴方の正則性の「証明」は証明にも何にもなっていません.
分母が零にならないとことでは, 正則関数を正則関数で割った商は
又正則関数である, ということの証明ですらない.
商の微分法の公式をもう一度復習しましょう.

後は無視しますね.

> > さて, u/(\exp(u) - 1) = 1/(\sum_{n=1}^\infty u^{n-1}/n!)
> > は \sum_{n=1}^\infty u^{n-1}/n! が u = 0 で零にならない
> > 正則関数であるので,
> 
> これはどうして分かるのでしょうか?

本当に訊いているのですか.
 (1) \sum_{n=1}^\infty u^{n-1}/n! = \sum_{n=0}^\infty u^n/(n+1)!
は分かりますか.
 (2) \sum_{n=0}^\infty u^n/(n+1)! の収束半径は分かりますか.
 (3) \sum_{n=0}^\infty u^n/(n+1)! の u = 0 での値は何ですか.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_128__03.jpg
> とお陰様で漸く解決できました。

今考えているのは複素変数の関数です.
問 1. 複素変数の関数について, ロピタルの定理は成立しますか.
問 2. 複素変数の関数が正則関数である場合はどうでしょうか.
問 3. 成立するとして, その証明は実１変数関数の場合と同じでしょうか.
問 4. f(u) が u = 0 でも正則であることの証明を貴方のようにすることに
意味があると思いますか.

> > これは上で言った, f'(0) の「定義による」計算です.
> > 私が問うたのは \lim_{h \to 0} f'(h) = f'(0) であることを
> > 直接示すことが出来ますか, ということで,
> > それが出来ているわけではありません.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_128__03.jpg
> と上手くいきました。

こちらも「ロピタルの定理」を使っていますね.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__17.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__18.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__19.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__20.jpg
> と再々訂正いたしました。

駄目な式が使ってあるので, 見ません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_291__00.jpg

私が言ったのは, ある \epsilon_0 > 0 が存在して,
 0 < \epsilon < \epsilon_0 となる任意の \epsilon について,
 | \epsilon \exp(i \theta)/(\exp(\epsilon \exp(i \theta)) - 1) | \leq 2
が成立することを示し, それを使いなさい, ということで,
ここに書かれていることはそれとは何の関係もない,
無意味な記述です.

後は見ません.

> |εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ)) - 1)|≦ 2の使いどころは
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/Prop205_292__22.jpg
> で宜しいでしょうか?

極限が零になることと, 極限をとる前のものが零であることとは
違います.

> えっ。何処で納得していないとお分かりになられるのでしょうか?

 [8] のような明らかな誤りがあるから.
というか, 論理が全く通っていないから.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Cauchy_s_integral_theorem__01.jpg
> と訂正させていただきました。これでいいのですよね。

丸で駄目です. 複素線積分の定義から復習して下さい.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_128__04.jpg
> となってsによって色々なケースが考えられるので
> u=0の時にf(u)をどのように定義すればいいのか
> 先に進めないのですがこれもやり方が間違っておりますでしょうか?

はい.

 Re(s) > 1 のとき, C = C_\epsilon の \epsilon を 0 に近づけるとき,
 \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du が　
 (\exp(2 \pi i s) - 1) \int_0^\infty u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du に　
近付くことを証明するのに, f(u) = u/(\exp(u) - 1)  (u \neq 0)
 f(0) = 1 という u = 0 の近傍での正則関数の性質を使いました.

複素線積分 \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du が
変数 s についての正則な関数を定義すること
を証明するときには C は固定して考えるので,
 u = 0 となることはありません.

また, 複素線積分 \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du が
 \epsilon に依らず一定の値を持つこと
には, 複素数平面から, 実軸の正の部分と, 2 \pi i の整数倍を除いたところで
 u^{s-1}/(\exp(u) - 1) が一価正則関数であることを用いますが,
そこでも u = 0 となることはありません.

> > Cauchy の積分定理の応用として, 積分路が
> > 被積分関数が正則な領域において
> > 変形されても, 積分の値が変わらないこと, が導かれることは
> > どの複素関数論の教科書にも書いてあるでしょう.
> > もう少し具体的に言えば, \epsilon = \epsilon_1 のときと
> > \epsilon = \epsilon_2 のときの値の差は
> > どのような経路での積分で表されますか.
> > その積分に Cauchy の積分定理を使うとどうなりますか.
> 
> g(u):=u^{s-1}/(exp(u)-1)として
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/graph083.jpg
> を見ると円の内部のu=0ではg(u)は不連続になりますよね。
> なのでCauchyの積分定理が使えなくなってしまいます。

私が言ったように, \epsilon_1 と \epsilon_2 を取って
描いたらどうなりますか.

> u=0ではgをどのように定義すればいいのでしょうか?

 u = 0 での値が必要になることはありません.

> 結局
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_129__00.jpg
> の問題に帰着してしまうのですが。。

ちゃんと上に書いたことを読んでくださいね.

> > 1/(\exp(2 \pi i s) - 1) の極は何か,
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2985__00.jpg
> よりn/2(但し,n∈Z)が極となります。

 \exp(2 \pi i (1/2)) = -1 だから, 間違ってますよ.

> > 1/\Gamma(s) の零点は何か, を考えないといけない.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Weierstrass_product_of_View__00.jpg
> より,0,-1,-2,…が1/Γ(s)の零点になりますよね。

 Weierstrass の乗積表示から,
 0, -1, -2, \dots が 1/\Gamma(s) の零点になることは
良いけれど, 駄目な表示が残っています.
もっとも, Weierstrass の乗積表示では
 \Gamma(s) の極での留数は分からないから,
 Weierstrass の乗積表示が万能でないことも
知っておかなければなりません.

> > Weierstrass の乗積表示から 1/\Gamma(s) は全複素数平面で正則ですから,
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Weierstrass_product_of_View__01.jpg
> ですよね。

違います. 左辺だけの問題です. 右辺は消しましょう.

> > \Gamma(s) は零点を持ちません.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_93__18.jpg
> とs=0,-1,-2,…の時はΓ(s)=∞になりますので全複素平面で零点を持ちませんね。

又, 無意味な記述を続けていますね.

> > 残った原点を一周する部分の積分は計算できますね.
> 
> この円周は単純閉曲線で
> もし(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/exp(εexp(iθ)-1)が(原点も含めた)円内で正則なら
> Cauchyの積分定理が使えて,
> ∫_0^{2π}(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/exp(εexp(iθ)-1)dθ=0 
> となりますよね。
> でも上述しましたが(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/exp(εexp(iθ)-1)が
> 原点で正則かどうかはどうすれば分かるのでしょうか?

いや, 一般には, 原点では正則になりませんよ.
しかし s が整数であれば, u\{s-1}/(\exp(u) - 1) は
 u = 0 の近傍から u = 0 を除いたところで一価正則になります.
留数定理を使いましょう.

> どっ何処が出鱈目なのでしょうか?
> lim_{n→∞}n^sn!/Π_{k=0}^n(s+k)の部分を
> Γ(s)に書き換えればご満足戴けるのでしょうか?

先ずはそれから始めてください.

> > L(s, \chi) とは Re(s) > 1 で定義された
> > \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s という正則関数を
> > 全複素数平面に有理形関数として解析接続したものです.
> > その正しい表示を書いて置きたいなら,
> > \Gamma(s) を使って書きなさい.
> 
> 了解いたしました。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Dirichlet_L_function__00.jpg
> でご満足戴けるのですね。

 s = 0, -1, -2, \dots での値が 0 にならないという話も
書いた筈です.

> > \Gamma(s) を使わないなら, 表示として不完全です.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__85.jpg
> と書けば完全になるのですね。

 \zeta(s) の s = 1 での留数の計算は完了していませんね.

> > C に値を取る, とだけ書くのは余り感心しません.
> > ちゃんと, 正則関数である, と書きましょう.
> 
> 「特にχがχ(Z_N^×)≠{1}というDirichelt指標なら,
> Re(s)>0でもΣ_{n=1}^∞χ(n)/n^s∈Cが成り立ち,

だから, 「 Re(s) > 0 でも \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s は正則関数を
定義し」です.

> Re(s)>0ででも
> L(s,χ):=Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)・1/(N^sΓ(s) 1/Π_{k=0}^n(s+k))・(Σ_{n=0}^∞(-1)^n 
>  B_n(a/N)/(n!(s+n-1))+∫_1^∞exp(-au/N)u^{s-1}/(1-exp(-u))du)は正則となる」
> と記せばいいのですね。

 \Gamma(s) を使いましょう.

> > 全複素数平面では \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s は
> > 意味を持ちませんから,
> 
> Σ_{n=1}^∞χ(n)/n^sは全複素平面では有理型になるとは限らないのですね。

 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s を解析接続したものが
全複素数平面上の有理形関数になるのです.

> > L(s, \chi) は s = 1 に極を持つことがあります.
> 
> えっ? どのような場合でしょうか?

 \chi((Z/NZ)^\times) = { 1 } の場合.

> > 貴方には \sum_{k=1}^{N-1} \chi(k) = 0 から
> > \sum_{k=1}^{N-1} \chi(k)/(m N)^s = 0 を導くことが出来ませんか.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2995__01.jpg
> の(2)で出来ました。

 (2) を使って (1) を証明するのに, 後回しですか.
まあ, (2) とするほどのことではないのですが.

> 見つけました。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_2__03.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_2__04.jpg
> とお陰様で漸く解決できましたが
> よく見るとsは変数なのでM_mはdominant sequenceにならないと思いまして

そう, 駄目です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_2__05.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_2__06.jpg
> という風にもしてみたのですがこれで大丈夫でしょうか?

 Re(s) が残っているので, やはり Weierstrass の優級数判定法の
使い方としては駄目です.

> そして今この問題は(2)の丸3ですよね。
> Re(s)≦0の場合についてはどのように証明を進めていけばいいのでしょうか?

その場合は, 任意の \chi について成立していたことを使うだけです.

> 因みに
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Dirichlet_L_function__01.jpg
> という主張は間違っておりますでしょうか?

何を主張しているのでしょうか.
任意の s について \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s が収束する
とかいった, 大間違いを主張するつもりですか.

> > \chi((Z_N)^\times \neq { 1 } の条件が無ければ,
> > Re(s) > 1 においてしか
> > L(s, \chi) = \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s となると言えません.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Dirichlet_L_function__02.jpg
> という定義で一応,正しいのですね。

だから, s = 0, -1, -2, \dots で L(s, \chi) = 0 というわけではありません.

> えっ? 何処ででしょうか?

 \Gamma(s) を使っていないところなのでもう無視します.

> Σ_{n=1}(-1)^nB_n(a/N)/(n!(s+n-1))については
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_233__01.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_233__02.jpg
> ではs=1では非正則になったのですが

 \sum_{n=1}^\infty (-1)^n B_n(x)/(n! (s + n - 1))
が s = 1, 0, -1, -2, \dots で一位の極を持つという話を
又蒸し返すのですか.

> ∫_0^1exp(-a/N)u^{s-1}/(1-exp(-u)) duについても
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__22.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_243__00.jpg
> からs=1では非正則になってしまうと思うのですが

積分 \int_0^1 \exp(-xu) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du 自体は
 Re(s) > 1 でないと収束しませんよ.
それの解析接続の一つの表示が
 \sum_{n=1}^\infty (-1)^n B_n(x)/(n! (s + n - 1)) です.
で, 何が問題ですか.

> では
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__06.jpg
> でのkの存在はどうすれば言えるのでしょうか?

おや, s = 1 での 1/(N^s \Gamma(s)) の値の計算が出来ませんか.
 s = 1 のまわりでの Taylor 展開が出来ませんか.

> > \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(N^s \Gamma(s)) は s = 1 で 0 となる
> > 正則関数ですから, (勿論絶対収束する)ベキ級数により
> > \sum_{n=1}^\infty a_n (s - 1)^n と表されます.
> 
> すいません。これがどうしても分かりません。
> 「複素関数f(s)がf(a)=0且つs=aで正則なら
> f(s)はaを中心とする絶対収束する(収束半径は不明(?))
> べキ級数Σ_{n=0}^a_n(s-a)^nに展開可能である」
> という命題があるのでしょうか?

「複素関数 f(s) が s = a で正則(つまり, s = a を含むある領域で正則)
であれば, f(s) は s = a の近傍で f(s) = \sum_{n=0}^\infty a_n (s - a)^n
と(零でない収束半径の)ベキ級数で表示される.」という定理が書かれていない
複素関数論の教科書というのは考えられません.
 f(a) = 0 というのは a_0 = 0 ということですから,
 f(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n (s - a)^n となります.

> 色々と探してみたのですがちょっと見つけれませんでした。

何か勘違いをしているのでしょう.

> 後,展開されたベキ級数Σ_{n=0}^a_n(s-a)^nの収束半径は何になるのでしょうか?

それは「どんな関数 f(s) の展開であるか」で変わります.

> > どのような議論か分かっていますか.
> 
> ええ、一応。
> これとProp3.15の(2)の丸3とから
> L(s,χ)が全複素平面で正則である事が示せるではありませんか?

 s = a で高々一位の極を持つ関数の s = a での留数が 0 であれば,
 s = a でその関数は正則になるというのは良いですか.

> > 何が Re(s) > 0 で収束することが分かり,
> 
> Prop3.15の(3)の丸1では
> L(s,χ)がχ(Z_N^×)≠{1}の時,Re(s)>0で収束する事が分かります。

それは違うでしょう.

> > 何が全複素数平面での有理形関数としての表示であるか,
> > について混乱が見受けられます.
> 
> Prop3.15の(3)の丸3では
> L(s,χ)がχ(Z_N^×)≠{1}の時,全複素平面で有理型となる事が分かります。

正則であることが分かるのですが, その論拠が分かっていますか.

> ※全く孤立特異点を持たない正則関数も有理型関数の仲間と見做す
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_meromorphic__04.jpg
> のですよね?

何度も言いますように, 有理形関数であるためには,
孤立特異点が高々「極」であることが要請されます.

> > だから, L(s, \chi) の全複素数平面での有理形関数としての
> > 表示の式から出発するわけではありません.
> >  \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s
> >   = \sum_{m=0}^\infty \sum_{a=1}^N \chi(a)/(m N + a)^s
> > は, 後者が収束すれば前者も収束して一致するので,
> > それを出発点とするのです.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2995__02.jpg

前半は, 上で述べたこととは無関係.
上で述べたことが示せてから, 後半に進むのです.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_1_3__02.jpg
> でいいのですね。

まあ, 貴方に解析学での証明を求めるのは無理でしょうから,
どうでも良いです.

> >  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a^s
> >   + \sum_{m=1}^\infty (\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(m N + a)^s)
> >   = f_0(s) + \sum_{m=1}^\infty f_m(s)
> > が何故 Re(s) > 0 で収束して正則関数を表すかについては
> > 既に散々議論しました.
> 
> 収束については
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_1_3__02.jpg
> の通りですね。

それは唯の出発点(の証明抜きの記述).

> 正則に
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__85.jpg
> 就いては
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__06.jpg
> を使って
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_2_3__04.jpg
> と言えますよね。

違いますが, どうでも良いです.

> > L(s, \chi) が(つまり, \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s を
> > 解析接続したものが) Re(s) < 1 で正則になることにこそ,
> > \chi が任意で成立する,
> >  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) (1/(N^s \Gamma(s)))
> >                   (\sum_{n=0}^\infty ((-1)^n B_n(a/N)/n!)/(s + n - 1)
> >                    + \int_1^\infty \exp(-au/N) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du)
> > という表示を使うのです.
> 
> うーんと,
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__06.jpg
> を用いて

それは \chi が条件を満たすとき, L(s, \chi) が s = 1 でも正則
になることの, 「別証明」の話.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_3__02.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_3__03.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_3__04.jpg
> という具合にしたのですがこれでもいいでしょうか? 

二つの証明をごっちゃにしては訳が分からなくなるだけです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp