ご回答誠に有難うございます。

>>> s が整数であれば, +\infty から \epsilon までの積分と
>>> \epsilon から +\infty までの積分は打ち消し合います.
>> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2993__00.pdf
> この pdf file には access できないようです.

これは大変失礼いたしました。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__00.pdf
でございます。

>> となったのですが
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__01.jpg
>> がどういうに打ち消しあって値が0になるのでしょうか?
> 一つの積分ではなくて,
> - \int_\epsilon^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
> + \exp(2 \pi i s) \int_\epsilon^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx

の部分は被積分関数が全く同じではないので(見た目は違えどもしかしたら同じかもしれないのですが)
-∫_ε^∞ x^{s-1}/(exp(x) - 1) dx+exp(2πis)∫_ε^∞ x^{s-1}/(exp(x)-1) dx
を取りあえず計算してみて
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__01.jpg
に行き着いたのですがここから先に進めずにおります。

> が合わせて 0 になるという話です.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__01.jpg
という積分値がどうして0になるのでしょうか?

>>> 残った原点を一周する部分の積分は計算できますね.
>> 末行はどのように計算を進めていけばいいのでしょうか?
> \int_{\gamma_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
> は, s が整数であれば,

被積分関数は
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_281__02.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_281__03.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_282__00.jpg
という風に一価関数になる事は分かりましたが

> 通常の閉曲線上での正則関数の

どうしてu^{s-1}/(exp(u)-1)がγ_ε上で正則関数とわかるのでしょうか?

> 線積分になりますから,

今,sは整数なのでu^{s-1}/(exp(u)-1)は一価関数なので複素積分可能(複素平面上で線積分可能)になりますね。

> 原点での留数から計算できます.

すいません。これはどういう事でしょうか?

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__00.pdf
の末行を直接積分計算していくのは困難なのでしょうか?

>> あと,
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__04.jpg
>> の証明は大丈夫でしょうか?
> その話には関知しません.

すっすみません。どうしてでしょうか?

>> それと
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2901__00.jpg
>> はどのように変形してけばいいのでしょうか?
> おや? \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
> = (\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s) \zeta(s) が Re(s) > 1 で
> 成立するから, といった話ではありませんでしたか.

えっ
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2901__00.jpg
の題意自体間違っておりますでしょうか?

以前に
『∫_C u^{s-1}/(exp(u) - 1) du
= (exp(2π i s) - 1)Γ(s)ζ(s) が Re(s) > 1にて成立』
についての議論があったのですね。申し訳ありません。過去レスからその議論についてどうしても見つけれませんでした。

> この話にはもう関知しません.
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__00.jpg
>> も末行からどう進めば宜しいのでしょうか?
> 関知しません.

誠に誠に誠に申し訳ありません。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__04.jpg

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2901__00.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__00.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__00.jpg
らの相互関係について混乱しております。
一応,これら各命題の題意は正しいのでしょうか?
偽若しくは無意味な題意がありましたらご指摘賜れば幸いでございます。
どうかお助けください。