ご回答誠に有難うございます。

>>> 実数変数の指数関数の微分はどのように求めましたか.
>> xを実変数とする時,y=exp(x)とすると,
>> x=ln(y)でd/dy ln(y)=1/y=1/exp(x)なので逆関数の微分の公式から
>> dy/dx=1/(dx/dy)=1/(1/exp(x))=exp(x)です。
> おやおや. それでは指数関数の前に対数関数が定義されているのですか.
> では, 対数関数の微分はどのように求めましたか.

y=ln(x)とすると
dy/dx=lim_{h→0}(ln(x+h)-ln(x))/h=lim_{h→0}1/h ln(1+h/x)
=lim_{h→0}1/x ln(1+h/x)^{x/h}=1/x lim_{h→0}ln(1/h/x)^{x/h}
=1/x lim_{h/x→0}ln(1+h/x)^{x/h}=(1/x)ln(e) =1/x
となると思います。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2913__11.jpg
>> でしたね。
> 今度は下から2番目の式の最後が間違っているでしょう.
> そこは < 1 としておかないと, 最後の式が < 2 になりません.

これは恐縮です。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_283__19.jpg
>> でいいのですね。
> 正確に言えば Riemann 面をどう理解するかの話が残っていますが.

っと仰いますと?

>> 取り敢えず,
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__04.jpg
>> は破棄して,
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__05.jpg
>> と訂正致しました。
> そのこと自体は結構です.

了解です。

>> そうでした。fが零点を持つ範囲を求めたいのですが
>> {s∈C;s∈f^-1(0)}=C\setminus[1,∞)ではほぼ全域がfの零点になってしまいますね。 
>> 
>> えーっ。結局,{s∈C;s∈f^-1(0)}の右辺は何と書けるのでしょうか?
> それが書けたら Riemann 予想が解決します.

そうだったのですか。

> 分かるのは s が整数の時, f(s) がどのような値を取るか, です.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__13.jpg
ならいいのですね。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2823__02.jpg
>> でいいのですね。
> あなたの書くものは文章になっていないので,
> f は C の内部には孤立特異点しかないということが
> 表現されているのかどうか判断できません.

これも失礼致しました。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2823__03.jpg
と訂正致しました。これで有限個の孤立特異点は全てC内部に入る事になります。

>>> [Prop199.9946] は認めてしまうのですか.
>> はい
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_9946__00.pdf
>> では如何でしょうか?
> あまり洗練されているとは言えませんが, 本質的には
> 良いでしょう. 但し, 最後を u^{Re(s) - \lfloor Re(s) \rfloor}
> にしたままでは, 0 \leq Re(s) - \lfloor Re(s) \rfloor < 1
> なのですから, 不十分でしょう.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_9946__01.jpg
という風に訂正致しました。これなら如何でしょうか?

>>> それなら [Prop205.29923] はほぼ無問題ですが,
>>> \epsilon は \epsilon > 0 でないといけませんし,
>> えっ? (iv)は間違いなのでしょうか?
> はい.

えっ
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29923__01.jpg
の何処が間違っているのでしょうか?

>>> (ii) は間違いです.
>> えっ? Re(s)≦0の場合は∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)^1)dxは
>> どう対処すればいいのでしょうか?
> \Gamma(s) がそのように積分表示されるは Re(s) > 0 のときだけです.
> Re(s) \leq 0 のときはそこから解析接続したものを考えます.

単に∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)^1)dxという積分値についての命題なら
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29923__02.jpg
と答えざる得ないのですね。

参考としてお伺いしたいのですが
Re(s)≦0の時,∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dxは計算不能なのでしょうか?
または発散するのでしょうか?
それともRe(s)≦0の時,∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dxの結果は未だ知られていないのでしょうか?

>> うーん、そうしますとf^-1(0)はどのような集合になるのでしょうか?
>  \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
>   = (\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s) \zeta(s)
> の零点が分かれば, Riemann 予想が解けてしまいます.

了解です。

>>> 重要な問題点だけ指摘しておくと,
>>> \phi(s) = \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
>>> は複素数平面全体で正則な関数です.
>>> \phi(s) について
>>> 示すべきは, 2 以上の正整数 s において \phi(s) = 0 と
>>> なることであり, それ以上のことは必要ありません.
>> そうしますと
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2925__02.jpg
>> が正しい題意だったのですね。
> \zeta(s) は Re(s) = 1/2 の上に無限個の零点を持つので,
> \phi(s) も Re(s) = 1/2 の上に無限個の零点を持ちます.
> "only" の使い方が間違っています.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2925__03.jpg
なら宜しいでしょうか?

>>> \zeta(s) の s = 1 での留数を知るには \phi(1) も
>>> 計算しておくと良いでしょう.
>> ええっとそれは,
>> ζ関数はζ(s)=1/((exp(2πis)-1)Γ(s)) ∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1) duとも表せて 
>> 
>>
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_965__03.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_103__02.jpg
>> からRes_{s=1}ζ(s)=φ(s)となるからなのですね。
> その式は, 左辺が定数, 右辺が s の関数だから,

失礼致しました。「Res_{s=1}ζ(s)=φ(1)となるからなのですね。」でした。

> 間違っていると気付かないとおかしい. 正確には
>  \lim_{s \to 1} (s - 1) \zeta(s)
>   = \lim_{s \to 1} ((s - 1)/((\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s))) \phi(s)
>   = 1/(2 \pi i \Gamma(1)) \phi(1)
>   = \phi(s)/(2 \pi i).
>>> φ(1)の値が分かれば
>> Res_{s=1}ζ(s)=1と分かっているので逆を辿って,φ(1)=1だと直ぐに推測できますが,
> ですから \phi(1) = 2 \pi i です.

有難うございます。上手くいきました。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_292__34.jpg
>> とお陰様で漸く解決できました。
> 二行目・三行目では \sum は \int の外側に置くべきです.
> 四行目に移行するときに, \sum を \int の中に入れて良い
> ことも述べるべきです.

えっ? ∫_0^∞exp(-x)x^{s-1}dxΣ_{n=1}^∞1/n^s=∫_0^∞Σ_{n=0}1/n^s
exp(-t)t^s dt/tは通常の積分の性質ではないですか。

>> すみません。一般論から∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1)duが正則である
>> とは具体的にどういう意味でしょうか?
> 被積分関数が複素パラメータ s を含んでいて,
> その s について正則であるとき,
> 線積分したものも s について正則になる,
> という型の定理です.

このような便利な定理があったのですね。

>>> まあ, 無限曲線上での積分ですから, 簡単ではないです.
>> つまり,∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1)duを積分することは容易ではないので,
>> ((exp(2πis)-1)Γ(s)ζ(s)=)∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1)duの零点を求めるのは
>> 用意ではないという事ですね。
> いえ, 上の型の定理をきちんと示すのが容易ではない
> ということです.

了解です。

>>> ! 必要なのは, Re(s) > 1 のとき,
>>> ! \lim_{\epsilon \to +0} \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
：
>        \times ((\epsilon/|\exp(\epsilon\exp(i\theta))-1|)
> \epsilon^{Re(s)-1}
>   < 2 \exp(2\pi|s|) \epsilon^{Re(s)-1}
> という不等式を議論していたではありませんか.

はい。

>>> それを示さないと,
>>> \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
>>>  = (\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s) \zeta(s)
>>> が示せないではありませんか.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2835__00.jpg
と上手くいきました。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_292__35.pdf
>> でもいけますよね。
> それは要するに,
>  \lim_{\epsilon \to 0}
>    i \int_0^{2 \pi}
>        (\epsilon\exp(i\theta))^s/(\exp(\epsilon\exp(i\theta))-1) d\theta
>   = 0
> を示そうということでしょう.

そうでしたね。

それと
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_292__36.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_292__37.jpg
という手順で∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1) du=(exp(2πis)-1)Γ(s)ζ(s)を示すやり方は不味いでしょうか?

>  \epsilon/|\exp(\epsilon\exp(i\theta))-1| < 2
> の議論が抜けているから完結していません.
> 3 page の議論は間違っていますよ.
>  \exp(\epsilon\exp(i\theta))-1
>   = \exp(\epsilon\cos\theta + i\epsilon\sin\theta)-1
>   = \exp(\epsilon\cos\theta)
>     \times (\cos(\epsilon\sin\theta) + i\sin(\epsilon\sin\theta))
>     - 1
>   = (\exp(\epsilon\cos\theta) \cos(\epsilon\sin\theta) - 1)
>      + i \exp(\epsilon\cos\theta) \sin(\epsilon\sin\theta)
> というのは良いですか. 分母は \epsilon \to 0 で 0 に近づくので,
> 分子の \epsilon を 1 つ合わせてやらないと, 有限になりません.

そうでした。勝手にlim_{ε→+0}∫_0^{2π}ε^{Re(s)}exp(2π|s|)/|exp(εexp(iθ))-1|dθ=0としまっておりました。

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2915__03.jpg
とお蔭様で上手くいきました。

>> ええっと、
>> ∫_{C_\epsilon}u^{s-1}/(exp(u)-1) du=(exp(2π i s)-1)Γ(s)ζ(s)
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_284__00.jpg
>> が示せれば
> そこが先ず問題.

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_285__04.jpg
>> が示せて,
> これは予め示しておく.

はい。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__06.jpg
>> が示せるわけなのですね。
> 順序としてはこれを用いて
> <http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_284__00.jpg>
> を示すことになります.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__06.jpg
は一体何のようにして示せるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2821__00.jpg
>> が正しい題意なのですね。
>> 一体,どのようにして証明できるのでしょうか?
> 全て, \exp(u) - 1 = u g(u), g(0) = 1 となる u = 0 での
> 正則関数 g(u) の存在から自明.

取り敢えず
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2821__01.pdf
という具合にu=0で微分可能という事は確認できそうですが,
0^sや0^{s-1}は複素数の累乗の定義から0^s=exp(sln|0|+iarg(0))となりln|0|部が定義されないで結局,0^sや0^{s-1}の値が何になるのか分かりません。どのように解釈したらいいのでしょうか?
それとRe(s)>2という条件は一体何処で使用すればいいでしょうか?

>>> \exp(u) - 1 = u g(u), g(0) = 1 となる u = 0 での正則関数
>>> g(u) が存在するのですから,
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_967__00.jpg
>> からそう言えますね。
> だから, 何度も何度も言いましたが, g(u) の存在がわかってから,
> g(0) = d(\exp(u) - 1)/du|_{u=0} から
> ((\exp(u) - 1)/u)|_{u=0} = g(0) = d(\exp(u) - 1)/du|_{u=0}
> でもあることが分かるので,
> \lim_{u \to 0} (d/du)(\exp(u) - 1)/(d/du)(u) を計算しても
> 意味ありません.

そうですよね。これはナンセンスでした。

>>> u^{s-1}/(\exp(u) - 1)
>>> = u^{s-2} (1/g(u)) であり, 1/g(u) は u = 0 での正則関数です.
>>> 1/g(u) のベキ級数展開から, u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の
>>> ローラン級数展開は直ちに得られます. 当然, 留数も計算されます.
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__07.pdf
>> とお陰さまで2πiまで辿り着けました。
> [Prop199.968] が丸っきり駄目です.

申し訳ありません。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_968__00.jpg
ぐらいしか分かりませんでした。
[Prop199.968]は一体どのように対処したらいいのでしょうか?

> s が整数でなければ u = 0 は分岐点になるので,
> u = 0 のまわりで u^{s-1}/(\exp(u)-1) は一価正則では
> なくなります.

多価正則になるのですね。

> s が 2 以上の自然数であれば, u^{s-1}/(\exp(u)-1) は
> u = 0 で正則ですから, u = 0 は極ではなく, 留数は 0 です.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_968__00.jpg
は一応は当たってました(嬉)。

> s が 1 であれば, 1/(\exp(u) - 1) は u = 0 を
> 一位の極としますから, そこでの留数は
> \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) - 1) で計算できますが,
> s が非正の整数であれば, 1/(\exp(u) - 1) は u = 0 を
> 一位より大きな位数の極としますから, そこでの留数は
> \lim_{u \to 0} u \times u^{s-1}/(\exp(u) - 1)
> では計算できません.

なるほどです。
lim_{u→0} u・u^{s-1}/(exp(u) - 1)はu・u^{s-1}/(exp(u) - 1)が一位の極を持つ時にしか利用できませんでしたね。

すると他にどのような方法で留数を求めれるのでしょうか?

> \lim_{u \to 0} u^{s-1} を 1^{s-1} としているのは
> 何の勘違いでしょうか.

あっと,すいません。書きミスでした。

>> それでこれからどうやって
>> -∫_ε^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx
>> +i∫_0^{2π}(εexp(iθ))^s/(exp(εexp(iθ))-1)dθ
>> +exp(2πis)∫_ε^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx
>> に進めるのでしょうか?
> s は整数ですから, 第1項と第3項は cancel します.
> 第2項を求めた留数から計算します.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__09.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29__10.jpg
と行けましたが[Prop205.287]はどのようにして示せばいいのでしょうか?

>>> s が整数でない場合は, 留数計算では計算出来ない
>>> というだけの話です. だから, 整数でない場合は扱いません.
>> え゛!?  すると
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__08.jpg
>> が正しい題意だったのですか????
> その3項の和にかけることは s が整数でなくても成立しますよ.

え゛っ!? するとs∈C\setminusZの場合にはどっどのようにして示せばいいのでしょうか?