ご回答誠に有難うございます。

>>> \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) - 1) = 1 に相当することを
>>> 示すのにロピタルの定理を使うのは２重に間違っています.
：
> に関する議論で, そこでは成立しない「ロピタルの定理」類似の
> 議論が行われているから, 間違っていると指摘しました.

了解です。

>> ロピタルの定理を使わずにどうしてlim_{u→0} (exp(u) - 1)/u = 1が
>> 言えるのでしょうか?
> 貴方は指数関数 \exp(u) が u = 0 で微分可能で,
> その微係数が 1 であることをどう証明するのですか.
> 一方, 正則関数に関する「ロピタルの定理」類似の定理に依り,
> \lim_{u \to 0} (\exp(u) - 1)/u = \exp(0)/1 = 1
> と計算する時, (d\exp/du)(0) = \exp(0) = 1 であることを
> 用いませんか.
>>> 指数法則から導かれたりしますが,
>> 具体的にどのようにするのでしょうか?
> 実数変数の指数関数の微分はどのように求めましたか.

xを実変数とする時,y=exp(x)とすると,x=ln(y)でd/dy ln(y)=1/y=1/exp(x)なので逆関数の微分の公式から
dy/dx=1/(dx/dy)=1/(1/exp(x))=exp(x)です。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_100035__00.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_10005__00.jpg
>> でもいいんですよね。
> それは複素変数の指数関数が正則であることを示した後の
> 話ですね.

そうですね。

>>> まあ, 実際には
>>> 複素変数の指数関数はベキ級数表示から始めるものでしょうから,
>>> u/(\exp(u) - 1) が u = 0 まで正則関数に伸びることも,
>>> そこでの値が 1 であることも一度に分かることで,
>>> その意味では, \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) - 1) = 1 は
>>> 「当たり前」のことですが.
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2913__10.jpg
>> ででもいいですね。
> \lim_{u \to 0} (\exp(u) - 1)/u = 1 であることを
> 認めればそうですが, 言えるのは
> \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, such that,
> if |u| < \delta, we have |u/(\exp(u) - 1) - 1| < \epsilon.
> ですから, \epsilon = 1 として得られる式は
> |u/(\exp(u) - 1) - 1| < 1, 従って,
> |u/(\exp(u) - 1)| < 1 + 1 = 2 であって,
> 最後から一つ前の行が間違っていることを指摘しておきましょう.

これは有難うございます。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2913__11.jpg
でしたね。

>> えーと,これは
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1023__14.jpg
>> という命題は存在しないのですか?
> 正則関数についてはそれで良い.

有難うございます。

>> それとも存在はするが
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2913__8.jpg
>> には使えないという事でしょうか?
> 使い方が間違っています.

了解です。

>> 申し訳ありません。その命題は見失ってしまいました。今,
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/zeta_function04.pdf
>> の命題らを考察中でございます。
> [Prop205.283] の結論は不十分です.
> f(\epsilon_1, \epsilon_2) = 0 を示さなければならない.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_283__19.jpg
でいいのですね。

> [Prop205.29] がまるっきり間違っていることは既に述べました.

「おっと, 失礼. 見間違えました.
 <http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__04.jpg>
の問題は
  \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
が \epsilon に依らない, という話に,
 1/((\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s)) をくっつける意味が
差し当たりないことです.」
つまり,[Prop205.29]全く無用な式だったのですね。

>> 恐らく
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__02.jpg
>> の命題の事を仰っているのかと思います。
> それが [Prop205.29] ですね.

通し番号を付け間違えておりました。
取り敢えず,
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__04.jpg
は破棄して,
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__05.jpg
と訂正致しました。

>> 兎に角
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__02.jpg
>> という題意は間違いで
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__05.jpg
>> が正しい題意なのですね。
> はい.

了解です。

>>> \zeta(s) は Re(s) = 1/2 上に
>>> 無数の零点を持つ関数ですよ.
>> すると
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__06.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__05.jpg
>> も間違いな題意なのですね。
> はい.

そっそうだったのですか。

>> Σ_{n=1}^∞1/n^sのsが1<s∈Rの時はただの調和級数になるので
>> Im(s)=0且つRe(s)>1の時は,ζ(s)は零点を持たないですね。すると
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__08.jpg
>> が正しい題意になりましょうか?
> 貴方の書き方では, 実軸の x \geq 1 の部分を除いた複素数平面
> 全体で \zeta(s) が恒等的に 0 になることを主張していることに
> なります.

そうでした。fが零点を持つ範囲を求めたいのですが{s∈C;s∈f^-1(0)}=C\setminus[1,∞)ではほぼ全域がfの零点になってしまいますね。
えーっ。結局,{s∈C;s∈f^-1(0)}の右辺は何と書けるのでしょうか?

> 留数定理をどう記述するかですが,
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2823__01.jpg
>> でしたね。
> 貴方の記述では, f が C 上には特異点を持たないということが
> 保証されないから駄目です.

そうでした。失礼致しました。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2823__02.jpg
でいいのですね。

>> するとProp205.2993ではs∈N\setminus{0,1}の時と
>> s∈C\setminusN\setminus{0,1}の場合に分けて考えねばならないのですね。
> [Prop205.2993] は記述がまるっきり駄目ですから,
> 考えても仕方ありません.

そうでしたね。了解です。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29923__00.jpg
> [Prop199.9946] は認めてしまうのですか.

はい
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_9946__00.pdf
では如何でしょうか?

> それなら [Prop205.29923] はほぼ無問題ですが,
> \epsilon は \epsilon > 0 でないといけませんし,

えっ? (iv)は間違いなのでしょうか?

> (ii) は間違いです.

えっ? Re(s)≦0の場合は∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)^1)dxはどう対処すればいいのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29925__00.jpg
>> となったのですが,
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29923__00.jpg
>> の下から4行目のRe(s)≦0の時の∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx∈Cは
>> どうすれば言えるのでしょうか?
> だからそれは間違っています.

もしかして(ii)は成立しないのでしょうか?

>> 失礼致しました。Prop205.2993の題意は
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__11.jpg
>> でございます。
> その記述では f(s) が実軸の x \geq 1 の部分を除いた
> 複素数平面全体で恒等的に 0 となることを主張していることに
> なります.

うーん、そうしますとf^-1(0)はどのような集合になるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__12.pdf
>> となってしまったのですが間違った題意があればご指摘賜れば幸いでございます。 
>> 
>>
> いやです. 貴方の身勝手な記法や不注意による誤記に付き合うつもりは
> ありません.

これは大変失礼いたしました

> 重要な問題点だけ指摘しておくと,
> \phi(s) = \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
> は複素数平面全体で正則な関数です.
> \phi(s) について
> 示すべきは, 2 以上の正整数 s において \phi(s) = 0 と
> なることであり, それ以上のことは必要ありません.

そうしますと
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2925__02.jpg
が正しい題意だったのですね。

> \zeta(s) の s = 1 での留数を知るには \phi(1) も
> 計算しておくと良いでしょう.

ええっとそれは,
ζ関数はζ(s)=1/((exp(2πis)-1)Γ(s)) ∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1) duとも表せて
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_965__03.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_103__02.jpg
からRes_{s=1}ζ(s)=φ(s)となるからなのですね。

> φ(1)の値が分かれば

Res_{s=1}ζ(s)=1と分かっているので逆を辿って,φ(1)=1だと直ぐに推測できますが,
実際にφ(1)を計算するとなると
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__06.jpg
を利用する事になりましょうが,
∫x^{s-1}/(exp(x)-1)dxや∫_0^{2π}εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)dθの積分はどうすれば求めれるのでしょうか?

>> 3ページ目の冒頭の
>> 1/(∫_0^∞exp(-x)x^{s-1}dx) ∫_0^∞u^{s-1}exp(-u)/((exp(u)-1)exp(-u)) du
>> =
>> Σ_{n=1}^∞1/n^s
>> という等式の証明はどのように始めればいいのでしょうか?
> Re(s) > 1 で \Gamma(s) \zeta(s) が
> (\int_0^\infty u^{s-1} \exp(-u) du)(\sum_{n=1}^\infty 1/n^s)
>  = \sum_{n=1} \int_0^\infty (u/n)^s \exp(-u) du/u
>  = \int_0^\infty \sum_{n=1}^\infty u^s \exp(-nu) du/u
>  = \int_0^\infty u^s \exp(-u)/(1 - \exp(-u)) du/u
> となることは既に別の thread で議論しました.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_292__34.jpg
とお陰様で漸く解決できました。

>> それと5ページ目の末行からはどうすればいいのでしょうか?
> \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du が正則関数で
> あることは, 複素パラメータ s を含む複素線積分の一般論から
> 従います.

すみません。一般論から∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1)duが正則であるとは具体的にどういう意味でしょうか?

> まあ, 無限曲線上での積分ですから, 簡単ではないです.

つまり,∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1)duを積分することは容易ではないので,
((exp(2πis)-1)Γ(s)ζ(s)=)∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1)duの零点を求めるのは用意ではないという事ですね。

>> 「\zeta(s) は Re(s) = 1/2 上に無数の零点を持つ関数ですよ.」
>> にて{s∈C;exp(2sπi)-1=0}=Zとばかり思っておりましたが,
> 「 \zeta(s) は Re(s) = 1/2 上に無数の零点を持つ」ということと
> 「 \exp(u) の零点は u が 2 \pi i の整数倍のところにだけある」
> ということとは無関係です.
> # 「絶対数学」でどうかは知らない.

そっそうですね。 絶対数学という分野があるとは知りませんでした。

>> 「s が整数でないときには原点で分岐する Riemann 面を
>> 考える必要があるし, s が整数の時には普通の複素数平面で
>> 考えれば良い, というだけの話です.」
>> から{s∈C;exp(2sπi)-1=0}=Zという主張に自信が無くなってしまいました。
>> 実際はどうなのでしょうか?
>> {s∈C;exp(2sπi)-1=0}=
>> と書いたら,右辺は何が来るのでしょうか?
> 整数の全体です.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2985__02.jpg
からそうでした。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__05.jpg
>> でいいのですね。有難うございます。
> はい. それを用いれば,

了解です。

> ! 必要なのは, Re(s) > 1 のとき,
> ! \lim_{\epsilon \to +0} \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
> !  = (\exp(2 \pi i s) - 1) \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
> ! が成立する,
> ことを示せるわけですが,

これはどのようにして示すのでしょうか?

>> これは何処で必要になるのでしょうか?
> それを示さないと,
> \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
>  = (\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s) \zeta(s)
> が示せないではありませんか.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_292__35.pdf
でもいけますよね。

ええっと、
∫_{C_\epsilon}u^{s-1}/(exp(u)-1) du=(exp(2π i s)-1)Γ(s)ζ(s)

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_284__00.jpg
が示せれば
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_285__04.jpg
が示せて,
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__06.jpg
が示せるわけなのですね。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__06.pdf
>> となりまして,
> Re(s) > 2 なら u^{s-1}/(\exp(u) - 1) は u = 0 で連続ではあります.
> s = 2 なら u/(\exp(u) - 1) は u = 0 で正則でもありました.
> といった突っ込みはいくらでも出来るので, 一々述べません.

すっすいません。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2821__00.jpg
が正しい題意なのですね。
一体,どのようにして証明できるのでしょうか?

>> 4ページ目下から8行目で2πiRes_{u=0}u^{s-1}/(exp(u)-1)から
>> どのように進めばいいのでしょうか?
> \exp(u) - 1 = u g(u), g(0) = 1 となる u = 0 での正則関数
> g(u) が存在するのですから,

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_967__00.jpg
からそう言えますね。

> u^{s-1}/(\exp(u) - 1)
> = u^{s-2} (1/g(u)) であり, 1/g(u) は u = 0 での正則関数です.
> 1/g(u) のベキ級数展開から, u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の
> ローラン級数展開は直ちに得られます. 当然, 留数も計算されます.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__07.pdf
とお陰さまで2πiまで辿り着けました。それでこれからどうやって
-∫_ε^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx+i∫_0^{2π}(εexp(iθ))^s/(exp(εexp(iθ))-1)dθ+exp(2πis)∫_ε^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx 

に進めるのでしょうか?

>> そして,下から4行目でC_εで一周したらArg(x)は何にすればいいのでしょうか?
>> もし,Q\setminusZ∋z:=m/n (但し,GCD{m,n}=1)なら,
>>  Arg(x)=2nπとすればいいのでしょうか?
>> でもC_εが一周するうちにArg(x)=2nπとなってしまい,
>> L_εとM_εも全く交点を持たない半直線だから
>> C_εは単純閉曲線になりませんよね。その場合はどうすればいいのでしょうか?
> s が整数でない場合は, 留数計算では計算出来ない
> というだけの話です. だから, 整数でない場合は扱いません.

え゛!?  すると
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__08.jpg
が正しい題意だったのですか????