ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2993__01.pdf
>> とお陰様で漸く解決できました。
> [Prop205.2993] で 2 \pi i をかけるのを忘れています.

あっ有難うございます。

>>> 充分小さな x > 0 に対して, |x^{s-1}/(\exp(x) - 1)| > (1/2) x^{Re(s) - 2}
>>> であり,
> これは \lim_{x \to +0} x/(\exp(x) - 1) = 1 からの帰結ですが,

はい。

>> そのようになりますね。
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__01.jpg
>
> 引き算で示したいなら, 式変形を間違えないで下さい.
> x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) - (1/2)^{Re(s)-2}
>  = x^{Re(s)-2}(x/(\exp(x) - 1) - 1/2)
> でないと証明できませんよ.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__02.jpg
ででも宜しいでしょうか?

>> これらから分かった事は∫_0^∞|x^{s-1}/(exp(x) - 1)|dx=∞という事ですが
>> それからどうして
>> Re(s)≦1 なら |∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x) - 1) dx|が発散と言えるのでしょうか?
> こういった積分で表示された複素関数を考えるときは
> Lebesgue 可積分でないと余り役に立たないので,

すっすいません。Lebesgue 可積分でないと余り役に立たないというのはどういう意味なのでしょうか?

> Riemann 広義積分として条件収束するかどうかなど
> 考える意味はありませんが, 今は幸いにして
> Riemann 広義積分が条件収束もしないことを
> 容易に証明できます.
：
>  \int_0^b |x^{s-1}/(\exp(x) - 1)| dx
>   \leq 2 \int_0^b x^{Re(s)-2} dx
> であり, Re(s)-2 > -1 ゆえ右辺の積分は収束します.

申し訳ありません。ちょっと大幅混乱しております。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__00.pdf
ではどうしていけないのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2917__01.jpg
>> これでいいのですね。
> 駄目です. u > 0 とすれば 0 < \exp(-u) < 1 ですから
：
>>> この話は以前に注意した筈です.
> と注意しました.

これは失礼致しました。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__39.jpg
> この中には変な式が紛れ込んでいますね.

大変失礼いたしましたm(_ _)m。即訂正いたします。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__40.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__41.jpg
>> なら宜しいでしょうか?
> だから [Prop205.2917] が間違っているので, 駄目です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__42.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__43.jpg
でいいのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__02.pdf
>> で大丈夫でしょうか?
> 当たり前のことをくどくどと書いてあるのを読みたいとは思いません.
> ちょっと見ただけでも,
> [Prop192.10032] の (i) の s が自然数のときの u^s の u = 0 での
> 正則性の証明の一行目の最後が u^{s-1} の u = 0 での微係数の存在を
> 主張している式になっているといった類の誤りやら,

えっ? u^sがu=0で微分係数の存在がu^sのu=0での正則性の証明にはならないのでしょうか?
ならどうやってu=0での正則性の証明をすればいいのでしょうか?

> もっと重大な問題
> としては, u = 0 での正則性が u = 0 での微分可能性を示せば証明された
> と勘違いしていることとかが発見できましたが,
> 一々調べませんし, 注意しません.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100032__00.jpg
と訂正致しました。これなら如何でしょうか?

>> 訂正致しました。
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_laurent__00.jpg
>> なら如何でしょうか?
> f には a で正則であるという条件が付く筈がありません.
> 又, a が孤立特異点であるという仮定は, この形の
> Laurent 級数展開の存在には必要ありません.
> こういう定理はどんな本にもちゃんと書いてあるのだから,
> しっかり読んで, 理解して, 勝手な用語や記号を使わずに,
> 標準的な記述をすれば, こういう間違いはしない筈です.

大変失礼いたしました。fはz=aで正則か若しくはz=aはfの孤立特異点という事を仮定しておりました。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__02.pdf
>> でいいのですよね。
> 書いておくべきは,
> (1) s が 2 以上の自然数であるとき,
> u^{s-1}/(\exp(u) - 1) が u = 0 で正則であること,
> (2) s がそれ以外の整数であれば,
> u^{s-1}/(\exp(u) - 1) は u = 0 を極とすること,
> (3) s が整数でなければ,
> u^{s-1}/(\exp(u) - 1) は u = 0 のまわりで一価正則にはならないこと,
> です. (1) は書いてありますが, (2), (3) は不明確です.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__05.jpg
でいいのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__03.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__04.jpg
>> でいいのですね。
> 留数については, 書き方はさておき, 結果としては
> それで良いでしょう.

有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2836__00.jpg
>> にて,Prop205.2836を示すにはProp205.2835をどのように利用すればいいのでしょうか?
> [Prop205.2836] は成立しません. 成立する必要もありません.
> [Prop205.2835] を使えば, Re(s) > 1 において,
> \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
>  = (\exp(2 \pi i s) - 1) \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
> が成立することが示せます.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2915__04.jpg
でいいのですよね。

>> 取りあえずs∈C\setminusZなら
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29__01.pdf
>> でいいのですね。
> そこでは任意の複素数 s についての話をしている筈でしょう.
> 整数の s についての話は, 整数の s での \zeta(s) の挙動を
> \zeta(s)
>  = (1/((\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s)))
>    \times \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
> という表示を用いて調べるという話です.

えっ?  誠に申し訳ありませんが仰ってる内容が把握できません。
題意は「s∈C,ε∈(0,2π)の時,∫_C 
u^{s-1}/(exp(u)-1)du=-∫_ε^∞u^{s-1}/(exp(u)-1)du+i∫_0^{2π}(εexp(iθ))^s/(exp(εexp(iθ))-1)dθ+exp(2πis)∫_ε^∞u^{s-1}/(exp(u)-1)du」 

となっているのですが。

>> あと
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__00.pdf
>> となったのですが8ページの上から4行目でつまづいてます。
>> ∫_{C_ε}u^{s-1}/(exp(u)-1)duがどうしてC上で正則と言えるのでしょうか?
>  \lim_{h \to 0}
>   (\int_{C_\epsilon}
>     ((u^{s-1+h} - u^{s-1})/h - \log(u) u^{s-1})/(\exp(u) - 1) du)
>  = 0
> を示すのです.

これを示すにはlimを∫の中に入れねばなりませんよね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__01.pdf
という具合にしてLebesgeの単調収束定理を使うべく変形していったのですが途中で単調性が判断しかねてしまい頓挫してしまいました。
一体,どのようにすべきなのでしょうか?

>> そして,9ページの上から3行目で
>> ∫_ε^∞exp((s-1)ln(x))/(exp(x)-1)dx∈Cとなる事と
> \int_\epsilon^\infty を \int_\epsilon^1 と \int_1^\infty に分けて,
> 前者での x^{s-1}/(\exp(x) - 1) の積分は有限閉区間での連続関数の積分
> だから当然収束,  x \geq 1 では 1/(\exp(x) - 1) < 2 \exp(-x) だから,
> 後者での積分の収束は 2 \int_1^\infty x^{Re(s)-1} \exp(-x) dx の収束から
> 導かれる, という話は既にしました.

そうでした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__00.jpg
の(i)&(iii)と(iv)を使えば∈Cは言えるのでした。

>> ∫_{C_ε}u^{s-1}/(exp(u)-1)duがN\setminus{0,1}でのみ
>> 一位の零点を持つ事はどうすれば言えますでしょうか?
> だから, 何度も言いますように, その関数は 2 以上の自然数 s で
> 零点を持ちますが, そこでのみ零点を持つわけではありません.
> 負の偶数の s でも零点を持ちますし, Re(s) = 1/2 の上にも
> 無数の零点があることが知られています. それ以外にはない
> だろうというのが Riemann 予想です.

そうだったのですか。了解です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2993__02.pdf
>> とこれで大丈夫でしょうか?
> [Prop205.2925] の (iii) は間違いです.

失礼致しました。
「φ(s) has zero points of order 1 on N\setminus{0,1} for ∀ε∈(0,2π)」
とすればいいのですね。