ご回答誠に有難うございます。

>>> \int_0^1 x^{Re(s)-2} dx が Re(s) \leq 1 で発散することの
>>> 証明のうち, Re(s) = 1 の部分は駄目です.
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__03.jpg
>> でいいのですね。
> 良く見ると, 誤りはそこだけではないですね.
> Re(s) < 1 なら 1/(Re(s) - 1) < 0 なので,
> - (1/2) (1/(Re(s)-1)) c^{Re(s)-1}
> は正の無限大に発散します.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__04.jpg
と訂正致しました。

>>> (v) の主張が, x^{s-1}/(\exp(x)-1) は Re(s) \leq 1 のとき,
>>> [0, 1] 上 Lebesgue 可積分でない, であれば, それで良いのです.
>>> Riemann 広義積分は絶対収束しない, でも良い.
>> そうしますと∫_0^1 |x^{s-1}/(\exp(x)-1)|dx (但し,Re(s)≦1)は
>> 発散すると分かりましたが
>> ∫_0^1 x^{s-1}/(\exp(x)-1)dx (但し,Re(s)≦1)だと
>> 発散・収束の判定は不可能なのでしょうか?
> 既に, Riemann 広義積分としても発散することの証明の概略を
> <120921121447.M0126779@ras2.kit.ac.jp> において与えました.
> # \int_0^1 x^{s-2} x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx 以下の所ですが,
> # これは \int_0^1 x^{s-2} x/(\exp(x) - 1) dx の間違いです.
：
>> どのように結論付けられますでしょうか?
> 上述の通り.
> (貴方の手では)証明できないことには触れない
> というのも良いかも知れません.

有難うございます。
(vi)については
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__05.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__06.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__07.jpg
という具合に(i)と(v)から示せたのですがこれででも大丈夫でしょうか?

>>> しかし, Lebesgue 可積分でなくても, Riemann 広義積分が条件収束
>>> することは有り得ることですので, "\not\in \mathbf{C}" などと
>>> いう曖昧な表現に対する証明としては不十分でしょう.
>> ∫_a^b |f(s,x)|dxが発散だが,∫_a^b f(s,x)dxは収束という場合は
>> 夫々∫_a^b |f(s,x)|dx \not \in C、∫_a^b f(s,x)dx∈C
>> と書けばいいだけの事ではないのでしょうか?
> 「 Riemann 広義積分が条件収束する」と書く方が良い.

了解です。

>>> まあ, 積分が収束するということの表現として, "\in \mathbf{C}"
>>> と書いたり, 積分が収束しないということの表現として,
>>> "\not\in \mathbf{C}" などと書くのは止めた方が良いでしょう.
>> ふーむそうですか。。。
>> "\in \mathbf{C}"や"\not\in \mathbf{C}"の使用する上での
>> 決定的な欠陥となるような例を挙げて戴けましたら幸いなのですが。
> そう書いたところで, それが何を意味しているのか分からない,
> という点で, 決定的な欠陥を既に持っています.

そうでしたか。

>> "<∞"だと(何となく)"振動"の意味も含んでそうなので,
>> ハッキシと"∈C"として収束を表しているつもりでした。
> 「振動」? 御冗談でしょう.

ええ、まぁ。
"∈C"だとビシッと「極限値を持つ」→「収束である」
"\not\in C"だとビシッと「極限値を持たない」→「発散である」
を意図してたのですが、、
しかも「収束して然も極限値が有理数」といいたい場合には単に「lim_{x→∞}f(x)∈Q」と書くだけでよく,同様に∈Zや∈Nも使えます。
でもこの記述は一般的ではないのですね。今後気をつけたいと思います。

>> monotone convergence theoremとは普通言ったりしないのでしょうか?
> この証明の場合には言わないでしょう.

そうでしたか。了解です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1235__03.jpg
>> でしたね。

> 言葉の定義の問題として, 一点で微分可能であるだけでは
> その点で正則とは言いません.

そうでしたね。開近傍の任意の点で微分可能でなければならないのでしたね。

>> でも[Prop192.100032]では導関数がu=0で連続なので
>> u^sはu=0にて正則と言っていいのですよね。
> 何度も言いますが, 必要なのは近傍での微分可能性だけで,
> 導関数の連続性は正則性を示すのには不必要です.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100032__02.jpg
でいいのですね。

>> でところで上から4行目の(lim_{u→0}u)^0=1はどうして言えるのでしょうか?
> そもそも正則性を示すのには必要ないことです.
> s = 1 のとき, u^s = u の微分は何だと思っているのですか.

u≠0の時は1で、u=0の時は0だと思いますが。。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_102285__01.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1083__00.jpg
> \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) - 1) のことを
> 0/(\exp(0) - 1) などと書いてはいけません.
> 或いは, f(u) = u/(\exp(u) - 1) を正則関数として
> u = 0 にまで拡張した時の f(0) を
> 0/(\exp(0) - 1) などと書いてはいけません.

有難うございます。迚も参考になります。
Σ_{n=0}^∞B_n0^n/n!はいいが,0/(exp0-1)という表記は駄目なのですね。

z/(exp(z)-1)はz=0で正則なのでz=0で連続,
故にlim_{z→0}z/(exp(lim_{z→0}z)-1)=lim_{z→0}z/(exp(z)-1)と迄は書いてもいいが
0/(exp0-1)は0/0と見て取れるからNGなのでしょうか?
z/(exp(z)-1)|_{z=0}=1ならOKでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__06.jpg
> proof of (i) の最後は変ですね.

u^{s-1}がu=0にて正則という箇所ですね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1027__00.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__08.jpg
とProp192.1027(i)を訂正致しました。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__07.jpg
>> で(iii)は如何でしょうか?
> s が整数でなければ, u^{s-1}/(\exp(u)-1) の u = 0 での値には
> 何も意味が与えられません. 削除されるのが良い.

trivial過ぎるという事ですね。了解です。

>>> だから, それは任意の複素数 s で成立しているので,
>>> "s \in \mathbf{C} \setminus \mathbf{Z}" について
>>> という話ではありません.
>> つっつまり,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29__01.pdf
>> の証明はs∈Zの時のみの証明しか記述してなくて,
>> s∈C\setminusZの時の証明は述べていないではないかと仰ってるのでしょうか?
> 初めから区別せずに証明を与えているのに,
> どうして場合を分けようとするのか, と
> 糺しているのです.

えっ!?
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29__01.pdf
を再度見てましたがsを場合わけしている箇所は見当たりませんでした。
なのでこれでいいのですよね?

>> 結局は
>> lim_{h→0}\int_{C_\epsilon}　
>> 　        |\log(u)|^2 \exp(|h||\log(u)|) u^{Re(s)-1}/(\exp(u) - 1)
>> |du|∈C
>> を示せばいいのですよね。
> 違いますよ. 何か正数 c, M があって, |h| < c なら
> \int_{C_\epsilon}
>   |\log(u)|^2 \exp(|h||\log(u)|) u^{Re(s)-1}/(\exp(u) - 1) |du| \leq M
> となることを言えば十分です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Prop205.2925__02.pdf
となりましたが下から6行目のc,Mとして何が採れますでしょうか?

後,「ε∈(0,2π)」という条件は使わなかったのですがεは任意の正の実数ででもいいのでしょうか?