工繊大の塚本です.

In article <k6ope3$2kd$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__02.pdf
> と訂正致しましたが証明の初行で
> d/ds ∫_{C_ε}u^{s-1}/(exp(u)-1)du=∫_{C_ε}∂/∂s u^{s-1}/(exp(u)-1)du
> となるのかどうして分かりません。どうしてなのでしょうか?

何度も同じことを言いますが, 先ず示すのは

  \lim_{h \to 0}
   ((\phi(s+h) - \phi(s))/h
     - \int_{C_\epsilon}
         { \partial \over \partial s }(u^{s-1}/(\exp(u) - 1)) du)
  = 0

です. それが出発点. これが示せたら,

  \lim_{h \to 0} ((\phi(s+h) - \phi(s))/h)

が存在して,

  \int_{C_\epsilon} { \partial \over \partial s }(u^{s-1}/(\exp(u) - 1)) du

で与えられることが分かったのですから,

  (d/ds)(\phi(s))
   = \int_{C_\epsilon} { \partial \over \partial s }(u^{s-1}/(\exp(u) - 1)) du

が示せたことになります.

出発点を間違えては, 先に進めないのは当然です.

> あと,末行から5行目にてc,M∈R^+としてどのようなものが採れるのでしょうか?

先ず, 今考えているのは複素線積分ですから,
 u は複素数であり, |u^{s-1}| が u^{Re(s)-1} になるわけではない,
ことに注意しましょう.
しかし,

  C_\epsilon
   = (-[\epsilon, +\infty)) + \gamma_\epsilon + [\epsilon, +\infty)

と 3 つの部分に分ければ,
 \gamma_\epsilon 上での積分は, 書き直せば,
有限区間上での連続な関数の積分になりますから
有界であることは明らかなので,
 -[\epsilon, + \infty) 上や [\epsilon, +\infty) 上での積分が
有界であることを示せば良いわけです.
 -[\epsilon, + \infty) 上, [\epsilon, +\infty) 上では
 u は正の実数 x になりますから,
 |u^{s-1}| = |x^{s-1}| = x^{Re(s)-1} とすることが出来ます. 例えば,

  |\int_{[\epsilon, +\infty)}
    (\sum_{n=2}^\infty h^{n-2} (\log(u))^n/n!) u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du|
   \leq \int_\epsilon^\infty
          (\sum_{n=2}^\infty |h|^{n-2} |\log(x)|^n/n!)
          \times x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) dx
   \leq \int_\epsilon^\infty
          |log(x)|^2 \exp(|h||\log(x)|) x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) dx

とするのは良い. \epsilon < 1 とすれば,

  \int_\epsilon^\infty
    |log(x)|^2 \exp(|h||\log(x)|) x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) dx
   = \int_\epsilon^1
       |log(x)|^2 \exp(|h||\log(x)|) x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) dx
     + \int_1^\infty
         |log(x)|^2 \exp(|h||\log(x)|) x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) dx
   = \int_\epsilon^1
       (-\log(x))^2 x^{-|h|} x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) dx
     + \int_1^\infty
         (log(x))^2 x^{|h|} x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) dx

であり, |h| < c なら

  \int_\epsilon^1
    (-\log(x))^2 x^{-|h|} x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) dx
  + \int_1^\infty
      (log(x))^2 x^{|h|} x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) dx
  \leq \int_\epsilon^1
         (-\log(x))^2 x^{-c} x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) dx
       + \int_1^\infty
           (log(x))^2 x^c x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) dx

ですから, 有界であることは, 積分が収束することから示されます.
 c は何でも良い. 最後の積分値が M です.

> 仰る通りですね。「…[8.7]」の直下で「(∵exp(x)-1<2x on (0,1))」
> という風に断っております。

それを使わずに \lim_{x \to +0} 1/(\exp(x) - 1) = +\infty
を理由としては

> 見難くて大変失礼いたしました。

見難いというのではなく, 間違いになります.

> さようでございます。「\not \in C」は
> ∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx=∞ か ∫_0^∞|x^{s-1}/(exp(x)-1)}dxは
> Lebesgue積分不確定という意味です。

 Lebesgue 積分として \int_0^\infty |x^{s-1}/(\exp(x)-1)| dx = +\infty
というのは意味がありますが, 複素数値の関数の積分で
 \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x)-1) dx = \infty
というのは意味不明です.
いずれにせよ, \notin C と書いては意味が確定しません.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__01.pdf
> にて,(v) ∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dx はRe(s)≦1で発散を示しているのですが

だから, そういう式では Riemann 広義積分が発散するという
意味が伝わらないと言っています.

> |∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dx |としても何も出てきそうもなさそうだし,
> 一体どのようにして証明すればいいのでしょうか?

 Riemann 広義積分が発散することの略証は
 <120921121447.M0126779@ras2.kit.ac.jp>
において与えたことを
 <121011173130.M0129823@ras1.kit.ac.jp>
で既に述べました.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10005__01.jpg
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1027__01.jpg
> で宜しいかと思います。

 [Prop192.10005(vi)] の証明がちゃんとできるのか,
疑問ではありますが, もう追求しません.

> えっそんなバカな。。(ii),(iii)は問題無いと思うのですが一体!?

 (ii) は s = 0 の時を含んでいますが,
 u^0 = 1 という定数関数は複素平面上正則です.
 (iii) は u = 0 で定義されていない関数の微分を u = 0 で
計算しようとしている点で, 無意味なことです.

 z/(\exp(z)-1)|_{z=0} なら, z/(\exp(z)-1) という関数は
自然に z = 0 にまで拡張できるということを了解していると考えて,
許容範囲ですが,

> これはOKで
> lim_{z→0}z/(exp(lim_{z→0}z)-1)はどうして許容範囲外なのでしょうか?

 \lim_{z \to 0} z = 0 なのですから,
それは 0/(\exp(0)-1) と書くのと変わりません.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__01.jpg
> では如何でしょうか?

 (i) はそれで良いですが, (iii) は駄目ですし,
 A が有界閉区間とするのでは, 現在の場合に使えません.

> 121007212833.M0126540@ras2.kit.ac.jp
> の　
> 「これは準備の仕方が悪い.
> \lim_{h \to 0}
> ：　
> |\log(u)|^2 \exp(|h||\log(u)|) u^{Re(s)-1}/(\exp(u) - 1) |du|
> なので, この最後の積分が |h| が十分小のとき有界であることを
> 示せば良い.」
> の箇所でしょうか?

はい.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp