工繊大の塚本です.

2015年12月3日木曜日 9時47分30秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> >> F,F'は体でFからF'への環準同型φが存在し,V-FをF上の線形空間とする時,
> >> V-FからF'への線形準同型全体Hom(V-F,F'-F',φ)をVとF'とφの双対空間といい,
> >> D(V,F,F',φ)と表す事にする。と言えばいいのですね。
> > 何をしようとしているか想像は付きますが,
> > 貴方は未だ何が「線形準同型」であるかの定義を与えていません.
> 
> 線形写像の事です。

その「線形写像」であるための条件をきちんと書き下すことができますか.

> >> つまりp175の定義をF^nで読み替えてみると,
> >> p≦n,Ω:={e_1,e_2,…,e_n}をF^nの正規直交基底として
> >> 集合{e_{i_1}∧e_{i_2}∧…∧e_{i_p};1≦i_1<i_2<…<i_p≦n}をF^{nCp}の基底とする。
> > それを Λ^p F^n の基底として, Λ^p F^n を F^{n \choose p} と同一視するのです.
> 
> Λ^p F^n:=(F^n)^pですね。

違いますよ. \dim Λ^p F^n = { n \choose p }, \dim (F^n)^p = np.
もっとも, (F^n)^p は F^n の元 p 個の組として扱っています.
外積という (F^n)^p から Λ^p F^n への交代多重線形写像は存在します.
 (F^n)^{\otimes p} という n^p 次元の線形空間からであれば,
 Λ^p F^n の上への線形写像も存在しますが,
それは { 0 } でない Kernel を持ちます.
 Kernel の生成元を記述して Λ^p F^n を定義する方法もありますが,
省略します.

> ∧・∧・…・∧;Λ^p
> F^n∋∀(Σ{k=1..n}a_{1_k}e_k,Σ{k=1..n}a_{2_k}e_k,…,Σ{k=1..n}a_{p_k}e_k)
> →(Σ{k=1..n}a_{1_k}e_k)Λ(Σ{k=1..n}a_{2_k}e_k)∧…∧(Σ{k=1..n}a_{p_k}e_k)
> :=Σ[1≦i_1<i_2<…<i_p≦n]det(A[i_1,i_2,…,i_p])e_{i_1,i_2,…,i_p}∈F^{nCp}.
> 但し,e_{i_1,i_2,…,i_p}は下記のような基本ベクトル
> e_{1,2,…,p}=(1,0,…,0)^T∈F^{nCp},
> e_{1,2,…,p-1,p+1}=(0,1,0…,0)^T∈F^{nCp},
> :
> e_{p+1,…,n-1,n}=(0,…,0,1)^T∈F^{nCp}.

外積のことを言っているようですが, Λ^p F^n の基底と
 F^{ n \choose p } の標準基底との対応を考えることに
こだわっても仕方がない.
両者は次元が同じでも扱いが違うとお考え下さい.

> > 内積は, そういう性質を持つ, 対称双線形形式です.
> 
> 了解いたしました。

後ろを見るとお分かりではないようです.

> n=3,p=2の時,F^3の外積(Grassman積やWedge積とも呼ばれる)は対称双線形形式を満たし,
> 更にF:=Cなら,非退化性も満たすのですね。

外積は (F^3)^2 から Λ^2 F^3 への交代双線形写像です.
 Λ: (F^3)^2 \to Λ^2 F^3.
ベクトル積は (F^3)^2 から F^3 への交代双線形写像
 \times: (F^3)^2 \to F^3
で,
行列式 \det: (F^3)^3 \to F という交代３重線形形式と
内積 ( , ): (F^3)^2 \to F という対称非退化双線形形式から
 (u \times v, w) = \det(u, v, w)
を満たすように定められるものです.

> > そういう話をするのは「外積」の場合.
> 
> なるほど,ベクトル積の定義では基底は不要なのですね。

違いが分かっていますか.

> そうでしたか。すいみません。*-operatorとはどのようなものなのでしょうか?

 Hodge の star operator でお探し下さい.

> 申し訳ありません。ベクトル積の一般の定義とはどのようになるのでしょうか?
> 探してみたのですが見つけれませんでした。 

上に掲げた通り. \times: (F^3)^2 \to F^3 しか考えません.
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塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp