ご回答誠に有難うございます。

>> Λ^2 C^3 はC^3∧C^3∧C^3の事ですよね。
> Λ^2 C^3 は (C^3)Λ(C^3) のことですから, 違います.

そうでしたか。これには何か呼び方があるのでしょうか? C^3とC^3の外積空間?

> A: C^3 → C^3 が C^3 のエルミート内積について
> 正定値エルミートな写像であるとき,

(A(x),x):=(A(x))^*x>0 for 0≠∀x∈C^3.という事ですね。^*は随伴の意味

> Λ^2 A: Λ^2 C^3 → Λ^2 C^3 を
> (Λ^2 A)(x Λ y) = (A x)Λ(A y) で定めると,
> Λ^2 A は Λ^2 C^3 のエルミート内積について

Λ^2 C^3 のエルミート内積とはどのように定義された内積なのでしょうか?

> 正定値エルミートな写像となることが知られています.

((∧^2A)(v),v):=((∧^2A)(v))^*v>0 for 0≠∀v∈∧^2C^3.という事ですね。

"知られている"とは何か定理があるのでしょうか? 定理名をお教え下さい。

> C: Λ^2 C^3 → Λ^2 C^3 は
> A, B: C^3 → C^3 から
> C = Λ^2 (A+B) - Λ^2 A - Λ^2 B
> により定義されています.

Λ^2 C^3∋v∧w→Λ^2
C^3(v∧w):=(Λ^2(A+B))(v∧w)-(Λ^2A)(v∧w)-(Λ^2B)(v∧w)
=(A+B)(v)∧(A+B)(w)-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
=(A(v)+B(v))∧(A(w)+B(w))-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
ですね。

>> そして,Cの正値性を示すには,正値性の定義から
>> (Cx,x)>0 for 0≠∀x∈C^3を示せばいいのでしょうが
> C は Λ^2 C^3 上で定義された写像ですから, 違います.

えっ? でも最終的には行列Cは(Cx,x)>0 for 0≠∀x∈C^3が成り立つ筈なんですよね?

>> なぜ代わりに(Cw,w)>0 for 0≠∀w∈Λ^2 C^3を示すだけでいいのでしょうか?
> 代わりではなく, 元々それを示さないといけないわけです.
>> もしかして,Λ^2 C^3=C^3が言えるのでしょうか?
> 勿論, Λ^2 C^3 は C^3 と同型です. だから, 行列での表示では
> 区別しなくて良いわけです.

線型空間同型とは,h:Λ^2 C^3→C^3なる全単射な線形写像hが存在するという事ですよね。
Λ^2 C^3⊂C^3は明らかなので同型ならΛ^2 C^3=C^3が言えるのですね。

とりあえず自分なりに纏めると
D:=
d_11,d_21~,d_31~
d_21,d_22,d_32~
d_31,d_32,d_33
と置くと,
Cは複素線型空間Λ^2 C^3の正規直交基底{u_1:=e_2Λe_3,u_2:=e_1Λe_3,u_3:=e_1Λe_}での表現行列なので,
CU=UD (但し,U:=(u_1 u_2 u_3)の3×3ユニタリ行列)
と書け, C=UDU^*=(UV)diag(λ_1,λ_2,…,λ_n)(UV)^* (但し,Vは3×3ユニタリ行列)
と対角化できるので
C>0ならdiag(λ_1,λ_2,…,λ_n)>0が言えて,D>0が言えるのですね。

よって,(Cw,w)>0 for 0≠∀w∈Λ^2 C^3が言えれば,今Λ^2 C^3=C^3である事が分かったので,(Cw,w)>0 for 0≠∀w∈C^3を言った事になるのですね。 


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