工繊大の塚本です.

~は「余因子」ではなくて, 「複素共役」を表すのでしょう.
C^3 の標準基底を e_1, e_2, e_3 として,
Λ^2 C^3 の基底を u_1 = e_2Λe_3, u_2 = e_1Λe_3, u_3 = e_1Λe_2 とし,
C e_iΛe_j = A e_iΛB e_j + B e_iΛA e_j で C を定義すると,
C u_1 = A e_2ΛB e_3 + B e_2ΛA e_3
 = (a12 e_1 + a22 e_2 + a32 e_3)Λ(b13 e_1 + b23 e_2 + b33 e_3)
   + (b12 e_1 + b22 e_2 + b32 e_3)Λ(a13 e_1 + a23 e_2 + a33 e_3)
 = (a22b33 - a32b23 + b22a33 - b32a23) u_1
   + (a12b33 - a32b13 + b12a33 - b32a13) u_2
   + (a12b23 - a22b13 + b12a23 - b22a13) u_3,
C u_2 = A e_1ΛB e_3 + B e_1ΛA e_3
 = (a11 e_1 + a21 e_2 + a31 e_3)Λ(b13 e_1 + b23 e_2 + b33 e_3)
   + (b11 e_1 + b_21 e_2 + b31 e_3)Λ(a13 e_1 + a23 e_2 + a33 e_3)
 = (a21b33 - a31b23 + b21a33 - b31a23) u_1
   + (a11b33 - a31b13 + b11a33 - b31a13) u_2
   + (a11b23 - a21b13 + b11a23 - b21a13) u_3
C u_3 = A e_1ΛB e_2 + B e_1ΛA e_2
 = (a11 e_1 + a21 e_2 + a31 e_3)Λ(b12 e_1 + b22 e_2 + b32 e_3)
   + (b11 e_1 + b21 e_2 + b31 e_3)Λ(a12 e_1 + a22 e_2 + a32 e_3)
 = (a21b32 - a31b22 + b21a32 - b31a22) u_1
   + (a11b32 - a31b12 + b11a32 - b31a12) u_2
   + (a11b22 - a21b12 + b11a22 - b21a12) u_3
となり,
c11 = a22b33 - a32b23 + b22a33 - b32a23 = d11
c21 = a12b33 - a32b13 + b12a33 - b32a13 = d21
c31 = a12b23 - a22b13 + b12a23 - b22a13 = d31
c12 = a21b33 - a31b23 + b21a33 - b31a23 = c21~ = d21~
c22 = a11b33 - a31b13 + b11a33 - b31a13 = d22
c32 = a11b23 - a21b13 + b11a23 - b21a13 = d32
c13 = a21b32 - a31b22 + b21a32 - b31a22 = c31~ = d31~
c23 = a11b32 - a31b12 + b11a32 - b31a12 = c32~ = d32~
c33 = a11b22 - a21b12 + b11a22 - b21a12 = d33
ですから, C の基底 u_1, u_2, u_3 に関する表現行列が
あなたの考えているエルミート対称行列です.
# A, B がエルミート対称行列であることに注意.

なお, 任意の C^3 のベクトル v, w について
 C vΛw = A vΛB w + B v ΛA w
であることも容易に証明できます.

さて, Λ^2 C^3 の任意の 0 でないベクトル w は,
 C^3 のある正規直交基底 v_1, v_2, v_3 を用いて,
 w = k v_2Λv_3 (k \neq 0)
と表せます.
 C が正定値であることを示すには,
 0 でないベクトル w について常に (C w, w) > 0
を示せば良いわけですが, それには任意の正規直交基底
 v_1, v_2, v_3 について, (C v_2Λv_3, v_2Λv_3) > 0
を示せば良い. Λ^2 C^3 でのエルミート内積の行列式表示を用いると,
(C v_2Λv_3, v_2Λv_3) = (A v_2ΛB v_3, v_2Λv_3) + (B v_2ΛA v_3, v_2Λv_3)
 = |(Av_2, v_2) (Av_2, v_3)| + |(Bv_2, v_2) (Bv_2, v_3)|
   |(Bv_3, v_2) (Bv_3, v_3)|   |(Av_3, v_2) (Av_3, v_3)|
 = (Av_2, v_2)(Bv_3, v_3) - (Bv_3, v_2)(Av_2, v_3)
   + (Bv_2, v_2)(Av_3, v_3) - (Av_3, v_2)(Bv_2, v_3)
 = a22b33 - b23a32 + b22a33 - a23b32
 = d11
となります. 但し, aij, bij はここでは v_1, v_2, v_3 に関する
 A, B の表現行列の成分であり, d11 もそれに対応する量です.
しかし, エルミート作用素のどんな表現行列についての話も皆同じですから,
貴方が d11 > 0 を標準基底について証明できているなら,
この d11 > 0 も同じようにして証明できるわけです.
# 私は面倒なのでここまでにします.

2015年10月3日土曜日 3時12分34秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> 塚本千秋先生。大変お久しぶりです。長期間の音信不通お許しください。
> また質問なのですが宜しくお願い致します。
> 
> 
> A=(a_ij),B=(b_ij)を3×3正値エルミート行列とする。
> 
> d_11:=
> |a22,a32~|
> |b32,b33|
> +
> |b22,b32~|
> |a32,a33|
> 
> d_21:=
> |a21~,a31~|
> |b32,b33|
> +
> |b21~,b31~|
> |a32,a33|
> 
> d_31:=
> |a21~,a31~|
> |b22,b32~|
> +
> |b21~,b31~|
> |a22,a32~|
> 
> d_22:=
> |a11,a31~|
> |b31,b33|
> +
> |b11,b31~|
> |a31,a33|
> 
> d_32:=
> |a11,a31~|
> |b21,b32~|
> +
> |b11,b31~|
> |a21,a32~|
> 
> d_33:=
> |a11,a21~|
> |b21,b22|
> +
> |b11,b21~|
> |a21,a22|
> 
> と置いた時, (但し,~は余因子の記号で,| |は行列式の記号)
> 
> d_11,d_21~,d_31~
> d_21,d_22,d_32~
> d_31,d_32,d_33
> 
> も3×3正値エルミート行列になる事を示すにはどうすればいいでしょうか?
> 
> d_11>0,d_22>0,d_33>0になる事は分かったのですがそれから全く先に進めません。
> 
> 吉田京子
> 
> 
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塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp