ご回答誠に有難うございます。

>> (Cw,w)=(C(x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3),x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3)
>> =(x_1Cu_1+x_2Cu_2+x_3Cu_3,x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3) (∵線形性)
>> =Σ_{i,j=1..3}x_i\bar{x_j}(Cu_i,u_j)
> x_j の方を \bar{x_j} としているのであれば,
> 前について線形, 後ろについて反線形ですね.

これはそうですね。

>> =Σ_{i,j=1..3}x_i\bar{x_j}u_i*C^*,u_j)
> 意味不明な式ですね.
> C u_i = \sum_{k=1}^3 C_{ki} u_k ですから,
> = \sum_{i,j,k=1}^3 C_{ki} x_i \bar{x_j} (u_k, u_j)
> = \sum_{j,k=1}^3 (\sum_{i=1}^3 C_{ki} x_i) \bar{x_j} \delta_{kj}
> = \sum_{k=1}^3 (\sum_{i=1}^3 C_{ki} x_i) \bar{x_k}

有難うございます。

>> =(C(x_1 x_2 x_3)^T,(x_1 x_2 x_3)) (∵??)
>> =(Cx,x)
>> となるんですよね。最後の変形はどうれすば導けるのでしょうか?
> 上の最後の式は C を行列と読み直して, C^3 のベクトル x についての
> エルミート内積 (C x, x) を計算する式になっています.

なるほどです。一般論で言えば
V,WをF線型空間(但しF:=RかF:=C)とし,
b:={b_1,b_2,…,b_n},b':={b'_1,b'_2,…,b'_n}をそれぞれVとWの基底とすると,f:V→Wが線型同型なら,
h:V×V→Rをエルミート内積とすると,fが正値であるとは,
h(f(v),v)>0 for 0≠∀v∈V…(ア)という事であり,
(ア)の定義は,fのbとb'とに於ける表現行列を[f]と書く事にすれば,
0≠∀v∈Vに対してv=c_1b_1+c_2b_2+…c_nb_nなるc:=(c_1,c_2,…,c_n)^T∈F^nに於いて,
エルミート内積h':F×F→Rにて,h'([f]c,c)>0という事ですね。

で今,
n=3,
V:=W:=∧^2C^3,
C:=f (具体的にA,B:C^3 → C^3からΛ^2 A:Λ^2C^3→Λ^2C^3; (Λ^2A)(xΛy)=(A 
x)Λ(A y)を定めて,更にC:=Λ^2(A+B)-Λ^2A-Λ^2 B)と定めた)
b:=b':={u_1,u_2,u_3}(但し,u_1:=e_2Λe_3,u_2:=e_1Λe_3,u_3:=e_1Λe_2)
と採られたのですね。この正規直交基底を採った時,
[C]=D が成立するという事なのですね。

>> x∧y=(x_2y_3-y_2x_-(3,x_1y_3-y_1x_3),x_1y_2-y_1x_2)^T
>> ではないんですか?
> 違います.

そうでしたか。

>> すみません。x∧yの定義は一体何なのでしょうか?
> Λ での積が双線形, 交代的になるように C^3 の基底 e_1, e_2, e_3
> に対する積から決めた Λ^2 C^3 の元です.
> e_iΛe_i = 0, e_jΛe_i = - e_iΛe_j ですから,
> (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3)Λ(y_1 e_1 + y_2 e_2 + y_3 e_3)
> = x_1 y_1 e_1Λe_1 + x_1 y_2 e_1Λe_2 + x_1 y_3 e_1Λe_3
>   + x_2 y_1 e_2Λe_1 + x_2 y_2 e_2Λe_2 + x_2 y_3 e_2Λe_3
>   + x_3 y_1 e_3Λe_1 + x_3 y_2 e_3Λe_2 + x_3 y_3 e_3Λe_3
> = (x_2 y_3 - x_3 y_2) e_2Λe_3
>   + (x_1 y_3 - x_3 y_1) e_1Λe_3
>   + (x_1 y_2 - x_2 y_1) e_1Λe_2
> という e_2Λe_3, e_1Λe_3, e_1Λe_2 の1次結合になります.
> e_1, e_2, e_3 の1次結合ではありません.

了解いたしました。 


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