ご回答誠に有難うございます。

>> そうでしたか。これには何か呼び方があるのでしょうか? C^3とC^3の外積空間?
> (2重)外積ベキ空間などと呼ばれます.

有難うございます。

>> Λ^2 C^3 のエルミート内積とはどのように定義された内積なのでしょうか?
> C^3 の正規直交基底 e_1, e_2, e_3 に対して,
> e_iΛe_j (i < j) が正規直交基底となるエルミート内積です.

なるほど。u_1 = e_2Λe_3, u_2 = e_1Λe_3, u_3 = e_1Λe_2の時,C^3でのエルミート内積(,)で
(u_i,u_j)=δ_ijとなりますね。

因みに線型空間Vの基底{b_1,b_2,…,b_n}でのエルミート内積と言ったら,
(b_i,b_j)=δ_ijとなるようなエルミート内積の事なのですね。

>>> 正定値エルミートな写像となることが知られています.
>> ((∧^2A)(v),v):=((∧^2A)(v))^*v>0 for 0≠∀v∈∧^2C^3.という事ですね。
>> "知られている"とは何か定理があるのでしょうか? 定理名をお教え下さい。
> 名前は付いていないでしょうが,
> 手元にある文献で証明が書いてあるものとしては,
> 山本哲朗「行列解析の基礎」SGCライブラリ79, サイエンス社, 2010.
> があります.
> 第11章の「Grassmann積と複合行列」を御覧下さい.

有難うございます。取り寄せてみたいと思います。

>>> C: Λ^2 C^3 → Λ^2 C^3 は
>>> A, B: C^3 → C^3 から
>>> C = Λ^2 (A+B) - Λ^2 A - Λ^2 B
>>> により定義されています.
>> Λ^2 C^3∋v∧w→Λ^2
>> C^3(v∧w):=(Λ^2(A+B))(v∧w)-(Λ^2A)(v∧w)-(Λ^2B)(v∧w)
>> =(A+B)(v)∧(A+B)(w)-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
>> =(A(v)+B(v))∧(A(w)+B(w))-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
>> ですね。
> = A v Λ B w + B v Λ A w
> です.

(A(v)+B(v))∧(A(w)+B(w))-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
=Av∧Aw+Av∧Bw+Bv∧Aw+Bv∧Bw-A(v)∧A(w)-B(v)∧B(w)
=AvΛBw+BvΛAw
でしたね。失礼致しました。

>>> C は Λ^2 C^3 上で定義された写像ですから, 違います.
>> えっ? でも最終的には行列Cは(Cx,x)>0 for 0≠∀x∈C^3が成り立つ筈なんですよね?
> 「行列として読み替えれば」ですね.

すっすいません。 「行列として読み替えれば」とは具体的にどういう意味でしょうか?

>> 線型空間同型とは,h:Λ^2 C^3→C^3なる
>> 全単射な線形写像hが存在するという事ですよね。
> それはそうですが,
>> Λ^2 C^3⊂C^3は明らかなので同型ならΛ^2 C^3=C^3が言えるのですね。
> Λ^2 C^3 は C^3 の一部ではありません.

えっ? Λ^2 C^3={x∧y∈C^3;x,y∈C^3}ではないのでしょうか?

> h(Λ^2 C^3) のことであれば, 「 h が同型」で話は終わっています.

Λ^2 C^3の正規直交基底{u_1,u_2,u_3}でのエルミート内積を(,)'と表す事にすると
(実際には(,)'とC^3でのエルミート内積(,)は一致してますが)
0≠∀w∈Λ^2 C^3に対して,
0<(Cw,w)'=(Ch(v),h(v))' (但し,v∈C^3)なら(Cv,v)>0と正値性が保存される
(つまり,同型なら,(Cw,w)'>0 for 0≠∀w∈Λ^2 C^3 ⇔ (Cv,v)>0 0≠∀w∈C^3)
というのが上記でご紹介いただいた定理なのですね。

>> とりあえず自分なりに纏めると
>> D:=
>> d_11,d_21~,d_31~
:
>> (Cw,w)>0 for 0≠∀w∈C^3を言った事になるのですね。
> それはそうですが,
> 私が述べたことの要点は,
> 任意の正定値エルミート行列 A, B について,
> d_11 = a_22 b_33 - a_23 b_32 + b_22 a_33 - b_23 a_32 > 0
> であることが示せるならば,
> A, B から定義された C の正定値性はそれから従うということです.

d_11=(Cv_2Λv_3,v_2Λv_3)' for 0≠∀v_2Λv_3∈Λ^2 C^3だから
d_11>0を言えばいいのですね。 


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